théorème de Thalès

Imaginez un triangle traversé par un segment parallèle à sa base. Ce segment découpe un second triangle de même forme, comme une copie réduite ou agrandie. Si un côté de la copie mesure les trois cinquièmes du côté initial, les deux autres côtés correspondants mesurent eux aussi les trois cinquièmes. Le théorème de Thalès transforme ainsi une information de parallélisme en rapports de longueurs, ce qui permet de trouver une distance inaccessible par une mesure directe.

Le théorème de Thalès est un résultat de géométrie plane qui établit la proportionnalité de segments découpés par des droites parallèles. Dans un triangle dont les sommets sont A, B et C, on choisit un point D sur la droite (AB) et un point E sur la droite (AC). Si la droite (DE) est parallèle à la droite (BC), les triangles ADE et ABC sont liés par un même rapport d’homothétie de centre A. Avec des longueurs ordinaires dans l’une des deux configurations usuelles, les rapports vérifient :

Les trois rapports ont le même centre A et associent des segments correspondants ; le troisième n’est pas indépendant des deux premiers. La configuration peut être emboîtée, lorsque B et D sont du même côté de A et que C et E le sont aussi, ou croisée, lorsque ces deux couples sont chacun de part et d’autre de A. La réciproque emploie l’égalité des deux premiers rapports, avec les alignements et l’ordre des points compatibles, pour conclure que (DE) est parallèle à (BC). Si D et E sont les milieux respectifs de [AB] et [AC], on obtient le théorème des milieux.

Soit un triangle ABC. Le point D appartient à la droite (AB), le point E appartient à la droite (AC), et les positions des points correspondent à une même configuration emboîtée ou croisée. Si (DE) est parallèle à (BC), alors les longueurs des côtés correspondants satisfont :

Réciproquement, dans un triangle ABC non dégénéré, si A, B, D sont alignés, si A, C, E sont alignés, si D et E sont distincts et si $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\backslash frac\{AD\}\{AB\}=\backslash frac\{AE\}\{AC\}$ dans une disposition compatible, alors (DE) est parallèle à (BC).

Le théorème direct s’applique dans le plan lorsque A, B et D sont alignés, A, C et E sont alignés, et (DE) est parallèle à (BC). Les longueurs placées dans un même rapport doivent être correspondantes et mesurées dans la même unité. Les segments AB, AC et BC doivent être non nuls pour que les trois quotients soient définis. Dans la configuration croisée, les positions relatives des deux couples de points doivent rester cohérentes ; les longueurs orientées rendent ce signe explicite.

Si (DE) n’est pas parallèle à (BC), même de très peu, l’égalité des trois rapports ne découle pas du théorème. Il faut alors établir une autre relation géométrique ou mesurer les longueurs directement. Pour prouver le parallélisme à partir de mesures, on emploie la réciproque et l’on vérifie d’abord les deux alignements ainsi que l’ordre des points.

Dans le triangle ABC, le point D est sur le segment [AB], le point E est sur le segment [AC] et (DE) est parallèle à (BC). Les données sont :
AB = 10 cm ;
AC = 15 cm ;
BC = 12 cm ;
AD = 6 cm.
La figure matérialise la même réduction à l’intérieur du triangle.

1. Le rapport de réduction se lit sur le côté AB : $\frac{AD}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\backslash frac\{AD\}\{AB\}=\backslash frac\{6\}\{10\}=\backslash frac\{3\}\{5\}$.

2. La longueur AE correspond à AC. On calcule donc $AE=15\times \frac{3}{5}=9AE=15\backslash times\backslash frac\{3\}\{5\}=9$. Ainsi, AE mesure 9 cm.

3. La longueur DE correspond à BC. Le même rapport donne $DE=12\times \frac{3}{5}=\mathrm{7,2}DE=12\backslash times\backslash frac\{3\}\{5\}=7\{,\}2$. Ainsi, DE mesure exactement 7,2 cm.

4. Le contrôle consiste à refaire les trois quotients : $\frac{6}{10}=\frac{9}{15}=\frac{\mathrm{7,2}}{12}=\mathrm{0,6}\backslash frac\{6\}\{10\}=\backslash frac\{9\}\{15\}=\backslash frac\{7\{,\}2\}\{12\}=0\{,\}6$. Leur égalité confirme les deux résultats et l’association correcte des côtés.

Pour calculer une longueur, on repère d’abord les deux droites sécantes et les deux parallèles. On écrit ensuite les rapports dans le même ordre autour du sommet commun. Une mesure directe reste préférable lorsque le segment est accessible et que sa précision suffit.

Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on choisit la réciproque. Le critère observable n’est plus un parallélisme déjà connu, mais deux alignements et l’égalité de deux rapports de longueurs correspondantes.

Lorsque D et E sont les milieux de deux côtés d’un triangle, le rapport vaut 1/2. Le théorème des milieux fournit alors directement le parallélisme et une longueur moitié de celle du troisième côté.

La tradition associe aussi Thalès à la mesure de la hauteur d’une pyramide par comparaison d’ombres. Le geste consiste à remplacer une hauteur inaccessible par une longueur proportionnelle dans une configuration de rayons parallèles.

Le théorème de l’angle inscrit dans un demi-cercle. En France, le nom de « théorème de Thalès » désigne le résultat de proportionnalité étudié ici. En Allemagne, il désigne plutôt le résultat sur l’angle inscrit dans un demi-cercle. Son critère concerne un angle droit sur un cercle, non des segments proportionnels découpés par des parallèles.

La relation métrique du triangle rectangle. En Suisse, « théorème de Thalès » peut désigner une relation dans un triangle ABC rectangle en A. Si H est le pied de la hauteur sur l’hypoténuse [BC], cette relation s’écrit AH² = BH × HC. La présence de cette hauteur la distingue de la configuration à deux sécantes et deux parallèles étudiée ici.

Parallèles seulement en apparence. Un dessin n’est pas une preuve : si (DE) et (BC) se coupent, même hors du cadre visible, le théorème direct ne s’applique pas. Il faut disposer d’un parallélisme établi ou utiliser une autre relation.

Rapports mal appariés. AD/AB compare le petit segment issu de A au grand segment situé sur la même sécante. Le mélanger avec EC/AC ou DE/AC produit une égalité sans justification ; il faut conserver l’ordre petit triangle sur grand triangle.

Configuration croisée et signes. Lorsque B et D sont de part et d’autre de A, C et E doivent suivre la même disposition pour que la même homothétie relie les deux triangles. Avec des longueurs non orientées, cette compatibilité doit être vérifiée séparément ; avec des longueurs orientées, elle apparaît dans le signe des rapports.

Cas dégénéré. Si A coïncide avec B ou C, un dénominateur vaut 0 et les rapports usuels ne sont pas définis. Si D = A ou E = A dans un triangle non dégénéré, la droite (DE) se confond avec un côté lorsque l’autre point diffère de A, donc elle ne peut pas être parallèle à (BC). Si D = E = A, la droite (DE) n’est pas définie.

Avec trois droites parallèles coupant deux sécantes en A, B, C et A′, B′, C′, la même idée donne $\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}}{A^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}}\backslash frac\{AB\}\{AC\}=\backslash frac\{A\text{'}B\text{'}\}\{A\text{'}C\text{'}\}$. La fiche Proportionnalité aide à lire cette égalité comme la conservation d’un même facteur.

La plus ancienne démonstration connue figure dans les Éléments d’Euclide, livre VI, proposition 2, et repose sur les aires de triangles de même hauteur. Le roi de la géométrie : le théorème de Thalès replace le résultat dans un parcours historique et géométrique.

En anglais, ce résultat est appelé intercept theorem, et en allemand Strahlensatz. Il se prolonge en dimension supérieure en remplaçant les droites parallèles par des hyperplans parallèles ; en géométrie projective, il est relié à la conservation du birapport.