Les enfants de Thalès

Scrutin proportionnel, impôt proportionnel, moyenne proportionnelle, quatrième proportionnelle, autant d’expressions utilisant le même mot de « proportionnalité ». Si on sait avec plus ou moins de précision ce qu’il recouvre, connaît-on ses nombreuses applications au domaine de la géométrie et sait-on en particulier qu’il sert de base dans la démonstration de la plupart des grands théorèmes ?

Les livres de géométrie regorgent de rapports et qui dit « égalité de rapports » dit « proportionnalité ». Dès qu’on évoque ce mot en géométrie, la première idée qui vient à l’esprit est évidemment celle du théorème dit de Thalès. Il porte ce nom en hommage à l’illustre mathématicien grec du VI^e siècle avant notre ère, qui aurait calculé la hauteur d’une pyramide à l’aide d’un bâton en faisant usage de la proportionnalité, mais c’est dans Les Eléments d’Euclide (proposition 2, Livre VI) écrits environ trois siècles avant notre ère qu’on en trouve la plus ancienne démonstration connue (voir article « Chez Euclide »).

Mais, qui dit « proportions » en géométrie dit aussi « triangles semblables » : ce sont plus précisément des triangles dont les côtés sont proportionnels deux à deux. Cette notion revient dans de nombreuses démonstrations, même au-delà du cadre du triangle, comme dans le théorème de Ptolémée.

Ce dernier énonce une condition nécessaire et suffisante pour que quatre points A, B, C et D soient cocycliques : on doit avoir l’égalité AC × BD = AB × CD + BC × AD.