triangles semblables

Imaginez un triangle dessiné sur une feuille, puis le même dessin agrandi sans l'étirer davantage dans une direction. Les longueurs changent toutes dans la même proportion, mais les trois angles restent inchangés. Les deux triangles ont donc la même forme : ils sont semblables.

Dans l'exemple suivi ici, un triangle de côtés 3, 4 et 5 devient un triangle de côtés 4,5, 6 et 7,5. Chaque longueur a été multipliée par 1,5.

Deux triangles non dégénérés sont semblables lorsque leurs sommets peuvent être mis en correspondance de sorte que les angles correspondants soient égaux et les côtés correspondants proportionnels. Pour les triangles ABC et DEF, la correspondance A avec D, B avec E et C avec F donne un même nombre positif k, appelé rapport de similitude : $\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=k\backslash frac\{DE\}\{AB\}=\backslash frac\{DF\}\{AC\}=\backslash frac\{EF\}\{BC\}=k$. Si k est supérieur à 1, DEF est un agrandissement de ABC ; s'il est compris strictement entre 0 et 1, c'est une réduction.

Il suffit de vérifier l'un des trois critères classiques. Premier cas : les trois angles correspondants sont égaux ; en pratique, deux égalités suffisent puisque la somme des angles d'un triangle vaut 180°. Deuxième cas : un angle de l'un est égal à l'angle correspondant de l'autre, et les deux côtés qui encadrent ces angles sont proportionnels. Troisième cas : les trois paires de côtés correspondants sont proportionnelles.

Ces critères s'appliquent aux triangles usuels du plan euclidien. La couleur, l'orientation et la position du dessin ne jouent aucun rôle ; seule compte une correspondance cohérente entre sommets, angles et côtés. Dans la source, ces trois cas sont présentés comme ceux qui étaient enseignés en classe de 3e jusqu'en 1969.

Comparons le triangle ABC, dont les côtés AB, AC et BC mesurent respectivement 4, 3 et 5 unités, au triangle DEF, dont les côtés correspondants DE, DF et EF mesurent 6, 4,5 et 7,5 unités. La correspondance testée est A avec D, B avec E et C avec F.

1. Calculons le rapport des deux premiers côtés correspondants : DE/AB = 6/4 = 1,5.

2. Calculons le deuxième rapport : DF/AC = 4,5/3 = 1,5.

3. Calculons le dernier rapport : EF/BC = 7,5/5 = 1,5. Les trois quotients sont égaux ; le troisième critère établit donc que les triangles ABC et DEF sont semblables. La figure conserve exactement ces longueurs et cette correspondance.

4. Le rapport de similitude de ABC vers DEF est 1,5. Comme contrôle, divisons chaque côté de DEF par 1,5 : nous retrouvons 4, 3 et 5, dans le même ordre.

Pour reconnaître deux triangles dont les angles sont indiqués, associez d'abord les angles égaux. Deux paires d'angles égaux suffisent ; mesurer les côtés devient alors inutile et ajouter des mesures approximatives risquerait seulement de brouiller le verdict.

Lorsque seul un angle commun est connu, comparez les deux côtés qui l'encadrent dans chaque triangle. Si les deux rapports sont égaux, utilisez le deuxième critère ; si l'angle égal n'est pas compris entre les côtés comparés, ce test ne conclut pas.

Lorsque les trois longueurs sont disponibles, rangez les côtés du plus court au plus long avant de former les quotients. Cette précaution évite une mauvaise correspondance. Si un seul des trois rapports diffère, les triangles ne sont pas semblables selon ces données.

Triangles semblables et triangles de mêmes dimensions. Deux triangles de mêmes dimensions ont leurs côtés correspondants égaux ; des triangles semblables exigent seulement un même rapport. Les triangles de côtés 3, 4, 5 et 4,5, 6, 7,5 sont semblables, mais ils n'ont pas les mêmes dimensions puisque leur rapport vaut 1,5.

Similitude et théorème de Thalès. La similitude est une relation entre deux triangles, vérifiable par l'un des trois critères. Le théorème de Thalès part d'une configuration comportant notamment des droites parallèles pour produire des rapports de longueurs ; ces rapports peuvent ensuite servir à reconnaître des triangles semblables.

Mauvais ordre des côtés. Obtenir trois quotients différents peut venir d'une correspondance incohérente plutôt que de triangles non semblables. Il faut associer les côtés opposés aux angles correspondants, ou classer les longueurs dans le même ordre avant de conclure.

Deux côtés proportionnels ne suffisent pas toujours. Il faut aussi que les angles compris entre ces côtés soient égaux. Des côtés 3 et 4 peuvent former des triangles de formes différentes si l'angle qu'ils encadrent change ; dans ce cas, il faut mesurer cet angle ou vérifier le troisième côté.

Mesures arrondies. Des quotients affichés comme 1,5 peuvent cacher des valeurs légèrement différentes. Avec des mesures physiques, l'égalité ne peut être affirmée qu'à la précision de l'instrument ; avec des données exactes d'exercice, les trois rapports doivent être exactement égaux.

Triangle dégénéré. Trois points alignés ne délimitent pas un triangle non dégénéré : son aire est nulle et les critères usuels ne s'appliquent pas comme annoncé. Il faut d'abord vérifier que chaque triplet de longueurs satisfait strictement l'inégalité triangulaire.

théorème de Thalès — Relier une configuration de droites parallèles aux proportions qui permettent de calculer des longueurs dans deux triangles.

homothétie — Étudier une transformation qui multiplie toutes les longueurs par un même rapport et conserve la forme d'un triangle.