GéométrieNotion · Glossaire
triangles isométriques
Deux triangles sont dits isométriques (terme utilisé dans l'enseignement français avant 1970 en lieu et place de « égaux » ou « congruents ») lorsqu'ils ont la même forme et les mêmes dimensions, c'est-à-dire qu'ils sont superposables. Trois cas suffisent à établir l'isométrie de deux triangles : 1er cas — deux triangles ayant un côté isométrique compris entre deux angles respectivement isométriques sont isométriques (cas ACA) ; 2e cas — deux triangles ayant un angle isométrique compris entre deux côtés respectivement isométriques sont isométriques (cas CAC) ; 3e cas — deux triangles dont les trois côtés sont respectivement isométriques sont isométriques (cas CCC).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître deux triangles superposables.
- Choisir entre les critères ACA, CAC et CCC selon les données disponibles.
- Éviter de conclure à partir de trois angles, d'un dessin ou de mesures approchées.
En clair
Imaginez deux triangles découpés dans du papier. Si l'un peut recouvrir exactement l'autre, sans dépasser et sans laisser de bord visible, ils sont isométriques. Ils ont donc les mêmes longueurs et les mêmes angles, même s'ils ne sont pas dessinés au même endroit ou dans le même sens.
Il n'est pas toujours nécessaire de comparer les six mesures. Certaines combinaisons de trois égalités suffisent : un côté entre deux angles, un angle entre deux côtés, ou les trois côtés.
Définition
Deux triangles sont isométriques lorsqu'ils ont la même forme et les mêmes dimensions : ils sont superposables. Le mot congruents est aujourd'hui un synonyme courant. Dans l'enseignement français antérieur à 1970, on employait aussi le mot égaux dans ce sens. Les sommets doivent être mis en correspondance dans le même ordre afin de comparer les côtés et les angles qui se répondent.
Trois critères permettent de conclure sans connaître toutes les mesures. Le critère ACA exige deux angles respectivement égaux et le côté compris entre eux de même longueur. Le critère CAC exige deux côtés respectivement de même longueur et l'angle compris entre eux égal. Le critère CCC exige les trois côtés respectivement de même longueur. Ces conditions peuvent se résumer par .
Dans chaque critère, les lettres indiquent la nature des données et leur ordre. Le mot compris est décisif : dans ACA, le côté relie les deux angles connus ; dans CAC, l'angle est formé par les deux côtés connus. Dès qu'un critère est vérifié avec une correspondance cohérente, les deux triangles sont isométriques.
Un exemple, pas à pas
On compare le triangle ABC au triangle DEF. Les données sont : AB = DE = 5 cm ; AC = DF = 7 cm ; l'angle formé par AB et AC, comme celui formé par DE et DF, mesure 60°. La figure rend visible cette correspondance avant l'application du critère.
Étape 1. Les côtés AB et DE se correspondent et ont tous deux une longueur de 5 cm.
Étape 2. Les côtés AC et DF se correspondent et ont tous deux une longueur de 7 cm.
Étape 3. Dans chaque triangle, l'angle de 60° est compris entre les deux côtés comparés. Les trois données sont donc disposées dans l'ordre côté-angle-côté.
Le critère CAC s'applique : les triangles ABC et DEF sont isométriques. Pour contrôler le raisonnement, on vérifie que la correspondance est A avec D, B avec E et C avec F ; les deux côtés connus encadrent bien l'angle égal dans chacun des triangles.
En pratique
Dans une figure, on commence par relever les marques d'égalité portées sur les côtés et les angles. Si deux côtés connus encadrent un angle connu, le critère CAC est le test direct.
Lorsque les trois longueurs de côtés sont données, le critère CCC évite de mesurer les angles dans la représentation. Le choix se fait donc d'après les données exactes, et non d'après l'apparence.
Si deux angles et le côté qui les relie sont connus, on préfère le critère ACA. Avant de conclure, on écrit toujours la correspondance des sommets afin de ne pas associer un côté ou un angle au mauvais élément.
À ne pas confondre
Triangles semblables. Ils ont la même forme, mais leurs dimensions peuvent différer. Un triangle de côtés 3, 4 et 5 et un triangle de côtés 6, 8 et 10 sont semblables, mais ils ne sont pas isométriques : leurs côtés correspondants n'ont pas les mêmes longueurs.
Triangles de même aire. L'égalité des aires ne garantit ni la même forme ni les mêmes dimensions. Deux triangles qui couvrent la même surface ne sont déclarés isométriques que si un critère ACA, CAC ou CCC est effectivement vérifié.
Limites et pièges
Trois angles égaux ne suffisent pas. Deux triangles équilatéraux de côtés 3 cm et 6 cm ont les mêmes angles, mais pas les mêmes dimensions. Il faut remplacer ce test par ACA, CAC ou CCC.
L'angle doit être compris dans CAC. Connaître deux côtés et un angle qui n'est pas formé par eux ne correspond pas au critère CAC. Il faut chercher un autre angle, un troisième côté ou un autre critère complet.
La correspondance ne se devine pas. Des égalités exactes deviennent inutilisables si elles associent des sommets incohérents. Il faut écrire les paires de sommets, puis vérifier chaque côté et chaque angle dans ce même ordre.
Un dessin ou une mesure approchée ne prouve pas l'isométrie. Le seuil mathématique est une différence nulle entre les longueurs ou les angles correspondants exigés. Si les valeurs sont arrondies, on ne conclut qu'à une concordance approchée.
Pour aller plus loin
Triangles semblables — Pour comparer l’égalité complète des longueurs avec une même forme conservée à un facteur d’échelle près.
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