théorème de rigidité de Cauchy

Imaginez quatre triangles équilatéraux en carton, de côté 4 cm, reliés bord à bord pour fermer un tétraèdre. Chaque arête ressemble d'abord à une charnière. Pourtant, une fois la surface fermée et convexe, les triangles ne peuvent plus pivoter librement.

Le théorème de Cauchy généralise cette idée : pour un polyèdre convexe, la forme des faces et leur manière de se toucher imposent toute la forme dans l'espace. On peut déplacer ou retourner l'objet entier, mais pas le déformer en gardant ses faces rigides.

Le théorème de rigidité de Cauchy concerne deux polyèdres convexes dont les surfaces ont la même organisation. Deux faces sont dites congruentes lorsqu'une isométrie du plan, comme un déplacement ou une réflexion, transforme exactement l'une en l'autre. Les faces correspondantes doivent être congruentes deux à deux, et leurs incidences doivent coïncider : les mêmes faces se rencontrent le long des arêtes correspondantes, dans le même ordre combinatoire.

Sous ces hypothèses, les deux polyèdres sont congruents dans l'espace. Autrement dit, une isométrie de l'espace envoie l'un sur l'autre. La conclusion est plus forte que l'absence de déformation continue : elle exclut aussi deux réalisations convexes distinctes, même si aucun chemin de déformation entre elles n'a été proposé.

La convexité est essentielle. Sans elle, certaines surfaces polyédriques fermées, dont les faces restent rigides et les arêtes jouent le rôle de charnières, peuvent changer de forme : ce sont des polyèdres flexibles.

Soient deux polyèdres convexes. Si leurs faces se correspondent de sorte que chaque paire de faces correspondantes soit congruente et que ces faces soient assemblées selon la même structure d'incidence, alors les deux polyèdres sont congruents. Il existe donc une isométrie de l'espace qui superpose entièrement le premier au second.

Le résultat s'applique à des polyèdres fermés et convexes. Il faut pouvoir associer leurs faces une à une, vérifier leur congruence, puis vérifier que leurs arêtes et leurs sommets se correspondent dans la même organisation. Une simple égalité des aires, ou même la même liste de formes sans information d'assemblage, ne suffit pas.

Si un polyèdre est non convexe, le raisonnement s'arrête : le théorème de Cauchy ne garantit plus la rigidité. Il faut alors étudier séparément la structure articulée, par exemple au moyen d'un critère de rigidité adapté, car des polyèdres flexibles existent.

On compare deux tétraèdres convexes, nommés P et Q. Chacun est fermé par quatre triangles équilatéraux de côté 4 cm. Dans chaque tétraèdre, toute face touche les trois autres le long de ses trois côtés.

1. On associe les quatre faces de P aux quatre faces de Q.
2. Chaque paire correspondante est congruente, puisque les deux triangles sont équilatéraux et ont le même côté de 4 cm.
3. L'assemblage coïncide : chaque face a les trois mêmes voisines correspondantes.
4. Les deux objets sont convexes, donc toutes les hypothèses de Cauchy sont réunies.

Le schéma rend visible le point décisif : deux triangles seuls peuvent pivoter autour de leur arête commune, tandis que les quatre faces refermées se contraignent mutuellement.

Le théorème conclut qu'une isométrie de l'espace superpose P et Q. Pour contrôler l'exemple, on peut vérifier les six arêtes : elles mesurent toutes exactement 4 cm dans les deux tétraèdres.

Pour comparer deux modèles convexes, on examine d'abord les faces, puis leur voisinage. Si les correspondances sont exactes, Cauchy évite d'avoir à mesurer séparément tous les angles dièdres entre les faces.

Pour tester une maquette articulée, on vérifie avant tout qu'elle est fermée et convexe. Si une concavité apparaît, le théorème ne décide plus ; une analyse spécifique des articulations devient nécessaire.

Pour expliquer la rigidité, il faut distinguer les pièces de leur assemblage. Deux faces reliées par une seule arête restent mobiles, mais la fermeture convexe de toute la surface impose une contrainte globale.

La congruence n'est pas la similitude. Des faces semblables peuvent avoir des tailles différentes ; des faces congruentes se superposent exactement. Deux tétraèdres équilatéraux de côtés 4 cm et 8 cm sont semblables, mais Cauchy ne permet pas de les déclarer congruents.

La rigidité de Cauchy n'est pas la rigidité d'une seule face ou d'une seule charnière. Deux triangles rigides attachés le long d'une arête peuvent encore pivoter ; c'est l'assemblage fermé et convexe de toutes les faces qui relève du théorème.

Perte de convexité. Une concavité visible suffit à sortir du domaine du théorème. Il ne faut pas conclure automatiquement à la flexibilité, mais rechercher un autre argument de rigidité ; certains polyèdres non convexes sont rigides et d'autres sont flexibles.

Même collection de faces, autre assemblage. Posséder les mêmes pièces ne suffit pas si les voisinages diffèrent. Il faut contrôler quelle arête de chaque face est collée à quelle arête correspondante avant d'invoquer Cauchy.

Rigidité globale et mouvement global. Une translation, une rotation ou une réflexion peut changer la position ou l'orientation du polyèdre sans le déformer. La conclusion est donc l'unicité à une isométrie de l'espace près, pas l'immobilité dans un repère fixé.

Le glossaire polyèdre convexe précise la propriété géométrique qui rend le théorème applicable.

L'article Souffler les polyèdres prolonge l'étude des formes polyédriques et de leurs transformations.