GéométrieNotion · Glossaire
Figures semblables
Deux figures géométriques sont semblables si l'une peut être obtenue de l'autre par une similitude, c'est-à-dire une composition d'isométries et d'une homothétie. Des figures semblables ont la même forme mais pas nécessairement la même taille : tous leurs angles correspondants sont égaux et les longueurs correspondantes sont dans un rapport constant, appelé rapport de similitude. Dans une configuration de droites parallèles, le théorème de Thalès établit la proportionnalité de longueurs correspondantes. En géométrie euclidienne, la similitude est une relation d'équivalence.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les invariants de forme et d’angle.
- Calculer un rapport de similitude à partir de côtés correspondants.
- Distinguer similitude, isométrie et homothétie.
- Éviter les erreurs de correspondance et les cas dégénérés.
En clair
Imaginez une photographie agrandie sans être étirée. Chaque longueur est multipliée par le même nombre, tandis que les angles et la forme restent inchangés. L’image agrandie et l’original sont alors deux figures semblables. Elles peuvent aussi être déplacées, tournées ou retournées : leur position ne compte pas. Ce qui compte est la correspondance entre leurs points, avec un même facteur d’échelle partout.
Définition
Dans le plan euclidien, deux figures sont semblables lorsqu’une similitude transforme l’une en l’autre. Une similitude est la composition d’une homothétie, qui multiplie toutes les distances par un même nombre strictement positif, et d’une isométrie, qui conserve les distances. Une translation, une rotation ou une symétrie peut donc changer la position ou l’orientation sans changer la forme.
Le nombre positif qui multiplie les longueurs est le rapport de similitude, noté ici k. Si les points A, B et C correspondent respectivement aux points A′, B′ et C′, les angles correspondants ont la même mesure et les rapports des longueurs correspondantes sont égaux :
Pour deux triangles non dégénérés, l’égalité de deux angles correspondants suffit à établir la similitude ; la proportionnalité des trois côtés est un autre critère. Le théorème de Thalès et sa réciproque donnent ce type de proportionnalité dans une configuration de droites parallèles. Une similitude est directe si elle conserve l’orientation et indirecte si elle la renverse. Enfin, « être semblable à » est une relation d’équivalence : chaque figure est semblable à elle-même, la relation est symétrique et elle est transitive.
Un exemple, pas à pas
Comparons un triangle ABC de côtés AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm avec un triangle A′B′C′ de côtés A′B′ = 6 cm, A′C′ = 8 cm et B′C′ = 10 cm. La figure représente ces deux triangles à la même échelle graphique.
Données.
Correspondance proposée : A avec A′, B avec B′, C avec C′.
Premier triangle : 3 cm, 4 cm et 5 cm.
Second triangle : 6 cm, 8 cm et 10 cm.
Correspondance proposée : A avec A′, B avec B′, C avec C′.
Premier triangle : 3 cm, 4 cm et 5 cm.
Second triangle : 6 cm, 8 cm et 10 cm.
Étape 1. Calculons le quotient de chaque longueur du second triangle par la longueur correspondante du premier.
Étape 2. Les trois quotients sont égaux. Les côtés correspondants sont donc proportionnels avec le rapport de similitude k = 2. Le critère côté-côté-côté établit que les triangles sont semblables.
Étape 3. Le triangle ABC est rectangle en A, car 32 + 42 = 52. Le second est aussi rectangle en A′, car 62 + 82 = 102. Ce contrôle confirme la correspondance des angles droits.
Résultat. Le triangle A′B′C′ est un agrandissement de rapport 2 du triangle ABC : chaque longueur en centimètres a doublé, tandis que les angles correspondants sont restés égaux.
En pratique
Pour agrandir un dessin sans le déformer, on choisit un rapport, puis on multiplie toutes les longueurs par ce même nombre. Si la largeur et la hauteur reçoivent des facteurs différents, il s’agit d’un étirement, pas d’une similitude.
Pour trouver une longueur inconnue dans deux triangles reconnus semblables, on associe d’abord les sommets de mêmes angles. On écrit ensuite des rapports de côtés dans le même ordre. Un simple dessin à l’œil ne remplace pas cette vérification.
Dans une configuration où une droite est parallèle à un côté d’un triangle, le théorème de Thalès fournit directement des longueurs proportionnelles. Hors de cette configuration, on utilise plutôt un critère de similitude adapté aux données disponibles : angles ou côtés.
À ne pas confondre
Figures isométriques ou superposables. Leurs longueurs correspondantes sont égales : leur rapport vaut 1. Elles sont donc semblables, mais deux figures semblables de rapport 2, comme les triangles 3–4–5 et 6–8–10, ne sont pas isométriques.
Figures homothétiques. Une homothétie de rapport différent de 1 impose que les droites reliant les points correspondants passent par un même centre. Deux figures semblables peuvent aussi nécessiter une translation, une rotation ou une symétrie ; elles ne sont alors pas homothétiques dans leur position donnée.
Même aire. L’égalité des aires ne garantit ni les mêmes angles ni des longueurs proportionnelles. Un rectangle de 2 cm sur 6 cm et un carré de côté cm ont chacun une aire de 12 cm2, mais ils ne sont pas semblables.
Limites et pièges
Correspondance mal choisie. Obtenir plusieurs quotients différents signale souvent que les sommets ne sont pas associés dans le même ordre. Il faut d’abord apparier les angles correspondants, puis reprendre tous les rapports selon cette correspondance.
Un seul indice ne suffit pas. Deux quadrilatères peuvent avoir quatre angles droits sans être semblables : un rectangle de 2 cm sur 3 cm et un rectangle de 2 cm sur 5 cm ont des rapports longueur/largeur différents. Il faut vérifier l’existence d’un rapport constant entre toutes les longueurs correspondantes.
Rapport nul exclu. Le rapport d’une similitude est strictement positif. Au cas charnière k = 1, la transformation conserve aussi les longueurs ; avec k = 0, toute la figure s’écraserait en un point et la transformation ne serait pas une similitude.
Orientation trompeuse. Une figure retournée peut rester semblable à l’originale. Si l’ordre des sommets est renversé, il faut reconnaître une similitude indirecte au lieu de conclure que les angles ou les côtés ne correspondent plus. Les critères usuels de triangles s’emploient sur des triangles non dégénérés.
Pour aller plus loin
triangles semblables. Retrouvez les critères propres aux triangles et les correspondances entre leurs angles et leurs côtés.
homothétie. Étudiez la transformation qui agrandit ou réduit depuis un centre avec un rapport fixé.
théorème de Thalès. Reliez parallélisme et proportionnalité pour calculer des longueurs dans deux triangles en configuration de Thalès.
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