situation du puzzle de Brousseau

Six élèves se partagent les six pièces d'un puzzle. Chacun doit agrandir sa pièce en respectant la consigne suivante : un côté de 4 cm doit devenir un côté de 7 cm. Les pièces sont ensuite réunies.

Dans ce puzzle, ajouter 3 cm à chaque longueur semble naturel, mais ne réalise pas l'agrandissement demandé : les pièces ainsi obtenues ne peuvent plus s'assembler correctement. Il faut appliquer la même multiplication à toutes les longueurs, tout en conservant les angles. Le puzzle rend ainsi visible la différence entre un agrandissement proportionnel et une simple addition.

La situation du puzzle de Brousseau est une activité collective d'agrandissement, généralement proposée en fin de CM2 ou en classe de sixième. Un groupe de six élèves reçoit un puzzle modèle. Chaque élève agrandit une pièce différente, puis le groupe rassemble les six productions. La réussite de l'assemblage fournit un contrôle commun des constructions individuelles.

La consigne fixe deux longueurs correspondantes : 4 cm sur le modèle et 7 cm sur l'agrandissement. Le coefficient d'agrandissement est donc $k=\frac{7}{4}=\mathrm{1,75}k=\backslash frac\{7\}\{4\}=1\{,\}75$. Toute longueur du modèle doit être multipliée par ce même nombre. Les angles sont conservés ; chaque pièce obtenue est semblable à sa pièce modèle. Selon la position choisie pour comparer les figures, cette transformation se décrit par une homothétie, éventuellement accompagnée d'un déplacement ou d'une rotation.

L'activité articule ainsi la proportionnalité des longueurs et la géométrie des figures semblables. Le théorème de Thalès peut justifier les rapports de longueurs dans une construction adaptée. L'enjeu didactique tient à la confrontation des pièces : une règle erronée peut sembler fonctionner sur le côté 4 cm, puis devient visible lorsque les bords censés coïncider ne s'ajustent plus.

Considérons, pour isoler le calcul, une pièce rectangulaire du puzzle modèle. La consigne impose le passage de 4 cm à 7 cm. Le rectangle mesure 4 cm de largeur et 8 cm de longueur ; ses quatre angles sont droits.

Données : largeur du modèle, 4 cm ; longueur du modèle, 8 cm ; largeur agrandie, 7 cm. La figure associée met en regard ces deux rectangles et leurs mesures correspondantes.

1. Le coefficient d'agrandissement est le quotient de la largeur agrandie par la largeur initiale : $k=\frac{7}{4}=\mathrm{1,75}k=\backslash frac\{7\}\{4\}=1\{,\}75$.
2. La longueur agrandie vaut donc $8\times \mathrm{1,75}=148\backslash times1\{,\}75=14$ cm.
3. Les angles restent droits : la pièce agrandie est un rectangle de 7 cm sur 14 cm.

Le contrôle consiste à comparer les rapports des côtés correspondants : $\frac{7}{4}=\frac{14}{8}\backslash frac\{7\}\{4\}=\backslash frac\{14\}\{8\}$. Ils valent tous deux 1,75. La règle « ajouter 3 cm » aurait donné 11 cm pour le côté de 8 cm ; comme 11/8 n'est pas égal à 7/4, cette pièce ne serait pas un agrandissement proportionnel.

En classe, le puzzle sert à faire éprouver la proportionnalité avant de formaliser le coefficient. Chaque élève construit une pièce, puis l'assemblage révèle les longueurs incompatibles. Si l'objectif porte seulement sur une construction individuelle, un dessin à l'échelle est plus direct ; le puzzle est préférable lorsque la confrontation des stratégies fait partie de l'apprentissage.

Pour analyser une production, on commence par mesurer deux paires de côtés correspondants et comparer leurs rapports. Ce premier contrôle permet notamment de distinguer l'addition d'une même longueur de l'application d'un rapport constant. Pour conclure à un agrandissement cohérent d'une pièce générale, il faut vérifier que toutes les longueurs correspondantes ont le même rapport et que les angles sont conservés, ou utiliser un critère de similitude suffisant adapté à sa forme. Si les écarts sont constants mais les rapports différents, l'élève a probablement additionné une même longueur. Un tableau de proportionnalité devient alors une alternative utile pour reprendre le calcul numérique.

Agrandissement proportionnel et ajout d'une longueur. Dans un agrandissement, le rapport entre chaque longueur nouvelle et la longueur correspondante reste constant. Ajouter 3 cm transforme bien 4 cm en 7 cm, mais transforme 8 cm en 11 cm au lieu de 14 cm : ce second côté tranche entre les deux règles.

Homothétie et figure simplement plus grande. Une homothétie multiplie toutes les longueurs par un même rapport et conserve les angles. Une pièce dont certains côtés ont été allongés sans respecter ce rapport peut occuper davantage de place, mais elle n'est pas l'image homothétique de la pièce modèle.

Similitude et congruence. Deux figures semblables ont les mêmes angles et des côtés correspondants proportionnels ; elles peuvent avoir des tailles différentes. Deux figures congruentes ont la même forme et la même taille. Les rectangles de 4 cm sur 8 cm et de 7 cm sur 14 cm sont semblables, mais non congruents.

Un seul couple de mesures ne suffit pas. La règle additive et la règle multiplicative donnent toutes deux 7 cm à partir de 4 cm. Le piège devient observable avec une autre longueur : pour 8 cm, l'agrandissement de rapport 7/4 donne 14 cm, et non 11 cm. Dans cet exemple, contrôler deux paires de côtés correspondants suffit à distinguer les deux règles numériques. Pour valider l'agrandissement complet d'une pièce générale, il faut vérifier toutes les longueurs correspondantes et la conservation des angles, ou appliquer un critère de similitude suffisant adapté à sa forme.

Des angles conservés ne garantissent pas seuls le bon agrandissement. Tous les rectangles ont quatre angles droits, mais un rectangle de 7 cm sur 11 cm n'est pas semblable à celui de 4 cm sur 8 cm. Il faut aussi vérifier l'égalité des rapports de longueurs correspondantes.

Les mesures réelles ont une précision limitée. Une découpe mesurée au millimètre peut produire de petits écarts d'assemblage. On compare alors les rapports avec une tolérance cohérente avec la règle et le tracé, au lieu d'exiger une égalité numérique absolue entre des mesures approchées.

Le mot agrandissement suppose un rapport supérieur à 1. Avec un rapport égal à 1, la figure garde sa taille ; avec un rapport strictement compris entre 0 et 1, il s'agit d'une réduction. Dans la situation donnée, le rapport 7/4 est bien supérieur à 1.

La fiche Proportionnalité approfondit le coefficient constant qui relie les longueurs du modèle et celles de l'agrandissement.

La fiche homothétie formalise la transformation géométrique qui multiplie toutes les distances à un centre par un même rapport.

La fiche théorème de Thalès montre dans quelles configurations des longueurs correspondantes sont proportionnelles.