pantographe

Imaginez quatre règles reliées par des pivots. Une pointe suit le contour d'un petit dessin tandis qu'une autre trace le même contour, deux fois plus grand ou deux fois plus petit. Les barres tournent, mais leur assemblage conserve la forme.

Cet instrument est un pantographe. La position des pointes et des pivots fixe le rapport de reproduction. Le geste de la main est transmis au crayon sans redessiner chaque longueur séparément.

Un pantographe est un instrument géométrique articulé qui reproduit une figure à une échelle constante. Son assemblage comporte un losange déformable : ses barres changent d'orientation autour de leurs articulations, tandis que les relations imposées par leur montage sont conservées. Une pointe parcourt la figure de départ et une pointe traçante décrit la figure reproduite.

Le mécanisme matérialise une homothétie. Si le rapport choisi est noté k, toutes les longueurs de la copie sont multipliées par la même valeur k. Les angles et la forme sont conservés. Un rapport supérieur à 1 donne un agrandissement ; un rapport compris entre 0 et 1 donne une réduction. La valeur dépend de l'emplacement des pivots, du point fixe, de la pointe de suivi et de la pointe traçante.

Le nom de pantographe s'applique aussi à certains systèmes articulés destinés à des constructions géométriques. Les pantographes de Céva et de Sylvester en sont des exemples cités sous ce nom, sans que leur fonction se réduise nécessairement à copier un dessin. Le premier pantographe est attribué à Christoph Scheiner (1575–1650), astronome et mathématicien allemand.

Un pantographe est réglé pour agrandir au rapport 2 un triangle rectangle. La figure de départ a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm. La pointe de suivi parcourt ce triangle ; le crayon doit en produire une copie homothétique.

Données :
rapport de reproduction : 2 ;
longueurs de départ : 3 cm, 4 cm et 5 cm ;
même réglage du mécanisme pendant tout le tracé.

1. Le côté de 3 cm devient 3 × 2 = 6 cm.

2. Le côté de 4 cm devient 4 × 2 = 8 cm.

3. Le côté de 5 cm devient 5 × 2 = 10 cm. La copie a donc des côtés de 6 cm, 8 cm et 10 cm.

Le contrôle consiste à diviser chaque longueur obtenue par la longueur correspondante : 6 ÷ 3 = 2, 8 ÷ 4 = 2 et 10 ÷ 5 = 2. Le rapport est constant, comme l'exige l'homothétie.

Pour agrandir un dessin, on fixe le point d'ancrage, puis on choisit les positions correspondant au rapport voulu. La pointe de suivi parcourt le modèle et la pointe traçante reproduit son contour.

Pour réduire une figure, on inverse le rôle des positions prévues pour le suivi et le tracé selon le montage utilisé. Le pantographe est pertinent lorsque toute la figure doit conserver une seule échelle ; des mesures séparées conviennent mieux si seules quelques longueurs sont à reporter.

Avant de tracer la copie définitive, un segment d'essai permet de contrôler le réglage. Avec un rapport 2, un segment de 4 cm doit donner un segment de 8 cm, à la précision du tracé et de l'instrument près.

Pantographe et homothétie. Le pantographe est l'instrument articulé ; l'homothétie est la transformation géométrique qu'il matérialise pour agrandir ou réduire. Un calcul peut définir une homothétie sans qu'aucun pantographe soit utilisé.

Agrandissement homothétique et étirement. Une copie au pantographe multiplie toutes les longueurs par un même rapport. Si un rectangle double seulement en largeur, les rapports diffèrent selon la direction : il s'agit d'un étirement, pas de la reproduction homothétique attendue.

Rapport modifié pendant le tracé. Si un pivot ou une pointe change de position, l'échelle n'est plus constante. Des parties censées correspondre n'ont alors plus le même rapport ; il faut rétablir le réglage et recommencer le tracé concerné.

Rapport charnière égal à 1. Les longueurs de la copie sont identiques à celles du modèle : il n'y a ni agrandissement ni réduction. Le pantographe effectue néanmoins une reproduction à échelle constante.

Jeu des articulations et précision du tracé. Le principe géométrique donne un rapport exact, mais un instrument matériel peut introduire un écart. Un segment d'essai doit donc être comparé au rapport attendu en tenant compte de la précision de mesure.

Extension du mot. Dans « pantographe de Céva » ou « pantographe de Sylvester », le terme désigne plus largement un système articulé de construction géométrique. Il ne faut pas conclure du seul nom que l'appareil sert à agrandir un dessin.

La fiche homothétie précise la transformation géométrique que le pantographe matérialise et permet de relier le rapport de réglage aux longueurs de la copie.