pantographe de Scheiner

Imaginez que vous suivez au crayon le contour d'un petit dessin. Sur un pantographe, une pointe suit ce contour tandis qu'une autre pointe le redessine ailleurs. Des tiges articulées relient les deux mouvements.

Le réglage fixe un même rapport pour toutes les longueurs. Avec un rapport de 3/2, un segment de 4 cm devient ainsi un segment de 6 cm. Les proportions du dessin sont conservées : il change de taille, pas de forme. Inventé en 1603 par Christoph Scheiner, cet instrument est celui que l'on nomme couramment pantographe.

Le pantographe de Scheiner est un instrument de dessin formé de tiges articulées. Un point est fixé au support, une pointe parcourt la figure modèle et une autre porte le crayon qui produit la copie. Dans le modèle géométrique idéal, les articulations imposent aux deux pointes des déplacements proportionnels.

On note O le point fixe, P la position de la pointe qui suit le modèle et Q la position correspondante du crayon. Pour un réglage de rapport positif k, les points O, P et Q restent alignés dans la configuration homothétique usuelle, et leurs distances au point fixe vérifient $OQ=kOPOQ=k\backslash ,OP$. Quand P parcourt une figure, Q parcourt donc son image par une homothétie de centre O et de rapport k. Toutes les longueurs sont multipliées par k, tandis que les angles et les proportions sont conservés.

Si k est supérieur à 1, la copie est agrandie. Si k est strictement compris entre 0 et 1, elle est réduite. Pour k = 1, elle garde la même taille. Le résultat mathématique suppose un instrument idéal et un réglage inchangé ; une réalisation matérielle n'offre qu'une précision limitée par le tracé et les articulations.

On veut agrandir avec le pantographe un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm. Le réglage choisi est le rapport 3/2.

Données : côtés du modèle, 3 cm, 4 cm et 5 cm ; rapport d'agrandissement, 3/2. Le schéma associé montre le modèle et son image alignés avec le point fixe O.

1. Le côté de 4 cm devient $4\times \frac{3}{2}=64\backslash times\backslash frac\{3\}\{2\}=6$ cm.
2. Le côté de 3 cm devient $3\times \frac{3}{2}=\mathrm{4,5}3\backslash times\backslash frac\{3\}\{2\}=4\{,\}5$ cm.
3. Le côté de 5 cm devient $5\times \frac{3}{2}=\mathrm{7,5}5\backslash times\backslash frac\{3\}\{2\}=7\{,\}5$ cm.
4. Le triangle copié mesure donc 4,5 cm, 6 cm et 7,5 cm.

Le contrôle est refaisable sur chaque paire de côtés correspondants : $\frac{\mathrm{4,5}}{3}=\frac{6}{4}=\frac{\mathrm{7,5}}{5}=\frac{3}{2}\backslash frac\{4\{,\}5\}\{3\}=\backslash frac\{6\}\{4\}=\backslash frac\{7\{,\}5\}\{5\}=\backslash frac\{3\}\{2\}$. Les trois rapports sont identiques, et l'égalité 4,5² + 6² = 7,5² confirme que l'angle droit est conservé.

Pour reproduire un motif sur papier, on immobilise le point fixe, on choisit le rapport et on guide la pointe suiveuse sur le contour. Le crayon trace simultanément la copie. Un calque est préférable si la copie doit garder exactement la même taille et qu'aucun changement d'échelle n'est recherché.

Avant un tracé complet, un segment étalon permet de contrôler le réglage. Avec le rapport 3/2, un segment de 4 cm doit donner 6 cm, à la précision de l'instrument près. Si cette mesure s'écarte trop de 6 cm, il faut reprendre la fixation ou le réglage plutôt que corriger chaque trait séparément.

Pour une figure définie par quelques points et mesures, une construction géométrique ou un calcul d'homothétie donne un contrôle plus exact. Le pantographe est surtout pertinent lorsque l'on veut suivre un contour continu tout en conservant automatiquement le même rapport.

Pantographe et homothétie. Le pantographe est un instrument matériel ; l'homothétie est la transformation géométrique qui décrit son fonctionnement idéal. Un dessin obtenu par calcul peut être homothétique sans avoir été tracé avec un pantographe.

Changement d'échelle et déformation. Une reproduction fidèle multiplie toutes les longueurs par le même rapport. Transformer le triangle de 3 cm, 4 cm et 5 cm en un triangle de 4,5 cm, 6 cm et 8 cm donne des rapports de 1,5, 1,5 et 1,6 : ce n'est pas l'agrandissement produit par un réglage unique du pantographe. Avec un rapport de 3/2, les longueurs obtenues seraient 4,5 cm, 6 cm et 7,5 cm.

Le rapport doit rester constant. Si le réglage change pendant le parcours, certaines longueurs ne sont plus multipliées par le même nombre. Le symptôme est une copie dont les proportions varient ; il faut immobiliser le réglage et recommencer le contour.

Le seuil k = 1 ne produit ni agrandissement ni réduction. Au-dessus de 1, la copie est plus grande ; entre 0 et 1, elle est plus petite. Il faut donc annoncer le rapport, et pas seulement parler de reproduction.

Un instrument réel n'est pas une homothétie parfaite. Le jeu des articulations, l'épaisseur du trait et une fixation qui bouge créent des écarts observables. On compare une longueur étalon à la valeur attendue en tenant compte de la précision du tracé, plutôt que d'exiger une égalité absolue entre mesures physiques.

Une figure passant par le point fixe devient un cas délicat. Dans le modèle mathématique, le point fixe reste lui-même sous l'homothétie. Matériellement, la fixation peut empêcher la pointe de parcourir ce voisinage ; il faut alors déplacer l'installation sans changer le rapport, ou construire l'image par une autre méthode.

La fiche pantographe replace le nom historique dans la notion générale de l'instrument de reproduction.

La fiche homothétie formalise le centre, le rapport et les propriétés géométriques qui expliquent le changement d'échelle.