GéométrieNotion · Glossaire

Agrandissement

Un agrandissement (ou homothétie de rapport positif supérieur à 1) est une transformation géométrique qui multiplie toutes les distances à un centre fixe par un rapport k strictement supérieur à 1. Ainsi, si O est le centre et k le rapport, l'image d'un point M est le point M' tel que OM' = k × OM. Un agrandissement conserve les angles et les formes : les figures images sont semblables aux figures originales. Par extension, le terme désigne parfois toute homothétie de rapport positif, qu'il soit supérieur ou inférieur à 1.

Chaque sommet image reste aligné avec O et se trouve 1,5 fois plus loin ; AB et AC passent de 2 à 3 unités, tandis que BC passe de 2√2 à 3√2 unités.

Sommaire

Ce que vous allez apprendre

Identifier le centre et le rapport d'un agrandissement.
Calculer les coordonnées et les longueurs de l'image d'un triangle.
Distinguer agrandissement, réduction, translation et étirement.
Reconnaître les cas k = 1, 0 < k < 1 et k < 0.

En clair

Imaginez un triangle dessiné sur une feuille transparente. Choisissez un point O, puis placez l'image de chaque sommet sur la demi-droite issue de O passant par ce sommet, en multipliant sa distance à O par 1,5. Un sommet situé à 2 cm de O se retrouve à 3 cm.

Le nouveau triangle est plus grand, mais il n'est ni étiré d'un seul côté ni déformé. Tous ses angles restent identiques, car le même facteur s'applique partout. Ce facteur commun et le centre O caractérisent l'agrandissement.

Définition

Un agrandissement est une homothétie de centre O et de rapport positif k strictement supérieur à 1. Pour tout point M différent de O, son image M' appartient à la demi-droite issue de O passant par M. La relation complète est

\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}

. Elle signifie à la fois que O, M et M' sont alignés, qu'ils sont placés dans ce sens, et que OM' = k × OM. Le centre O reste fixe.

Le même rapport agit sur tous les points de la figure. Ainsi, pour deux points P et Q ayant pour images P' et Q', la distance P'Q' vaut k × PQ. Les angles sont conservés et la figure image est semblable à la figure initiale : sa forme ne change pas, seules ses longueurs sont multipliées par k.

Dans l'usage strict, k > 1 produit un agrandissement. Lorsque 0 < k < 1, la même construction est une réduction. Pour k = 1, chaque point reste à sa place. Le mot « agrandissement » est toutefois parfois employé au sens large pour toute homothétie de rapport positif, y compris une réduction.

Un exemple, pas à pas

Dans un repère d'origine O, prenons le triangle ABC avec A(1 ; 1), B(3 ; 1) et C(1 ; 3). Le rapport d'agrandissement est k = 1,5. Les côtés AB et AC mesurent chacun 2 unités, tandis que BC mesure 2√2 unités.

1. Multiplions chaque coordonnée de A par 1,5 : A' a pour coordonnées (1,5 ; 1,5).

2. Appliquons le même calcul aux deux autres sommets : B'(4,5 ; 1,5) et C'(1,5 ; 4,5). Chaque point image se trouve sur la demi-droite issue de O passant par son point d'origine.

3. Calculons les côtés images : A'B' = 4,5 − 1,5 = 3 unités et A'C' = 4,5 − 1,5 = 3 unités. De même, B'C' = 3√2 unités.

4. Contrôlons le rapport : 3/2 = 1,5 et (3√2)/(2√2) = 1,5. Les trois côtés ont donc été multipliés par le même nombre, ce qui confirme l'agrandissement sans déformation. La figure matérialise aussi l'alignement de O avec chaque sommet et son image.

En pratique

Pour construire l'image d'un point M, tracez la demi-droite d'origine O qui passe par M. Placez ensuite M' sur cette demi-droite à la distance k × OM. Une réduction convient à la place si le rapport choisi est compris entre 0 et 1.

Pour vérifier qu'un dessin a bien été agrandi, comparez plusieurs longueurs correspondantes. Le même quotient, supérieur à 1, doit apparaître partout ; les angles correspondants doivent aussi être égaux. Si les quotients diffèrent, le dessin a été étiré ou déformé.

Lorsqu'une reproduction doit seulement changer de taille sans changer de forme, un agrandissement uniforme est adapté. Un recadrage répond à un autre besoin : il retire une partie de l'image au lieu de multiplier toutes ses dimensions par un même rapport.

À ne pas confondre

Agrandissement et translation. Une translation déplace tous les points de la même façon et conserve les longueurs. Un agrandissement de rapport k > 1 fixe un centre et augmente les longueurs. Un segment de 2 unités reste long de 2 unités après translation, mais devient long de 3 unités pour k = 1,5.

Agrandissement et figures semblables. Une homothétie produit toujours des figures semblables, mais la seule similitude des formes ne suffit pas à prouver l'existence d'un même centre d'agrandissement. Il faut aussi pouvoir aligner chaque point, son image et un centre commun.

Agrandissement et étirement. Un étirement horizontal peut multiplier la largeur sans modifier la hauteur. Le quotient des longueurs n'est alors pas constant et certains angles changent. Dans un agrandissement, toutes les directions reçoivent le même rapport.

Limites et pièges

Rapport égal à 1. La valeur k = 1 est le seuil charnière : chaque point reste inchangé. Il n'y a donc ni agrandissement ni réduction, même si la transformation demeure une homothétie positive.

Rapport compris entre 0 et 1. Les distances diminuent. Il faut parler de réduction dans l'usage strict, tout en sachant que certains textes emploient « agrandissement » au sens large pour toute homothétie positive.

Rapport négatif. Une homothétie peut avoir un rapport négatif, mais elle ne relève pas de l'agrandissement défini ici. Le point image se trouve alors de l'autre côté du centre ; il faut conserver le terme général d'homothétie.

Facteurs différents selon les directions. Si la largeur et la hauteur ne sont pas multipliées par le même nombre, les angles et la forme peuvent changer. Il faut décrire une déformation, et non un agrandissement par homothétie.