homothétie

Imaginez une figure dessinée sur un film que l'on agrandit depuis un point fixe O. Chaque point se déplace sur la droite qui le relie à O, toujours avec le même facteur.

Ce facteur est le rapport d'homothétie. S'il vaut 2, les distances au centre doublent. S'il est négatif, l'image passe de l'autre côté de O. La forme et les angles restent les mêmes, mais la taille et parfois l'orientation par rapport au centre changent.

Dans un espace affine, une homothétie est déterminée par un centre O et un nombre réel non nul appelé rapport, noté k. À chaque point M, elle associe un point M' tel que $\overrightarrow{O{M}^{\mathrm{\prime }}}=k\overrightarrow{OM}\backslash overrightarrow\{OM\text{'}\}=k\backslash ,\backslash overrightarrow\{OM\}$. Les points O, M et M' sont donc alignés. Pour k positif, M et M' sont du même côté de O ; pour k négatif, ils sont de côtés opposés. Les distances à O sont multipliées par la valeur absolue de k.

Si k ≠ 1, le centre O est l'unique point fixe. Pour k = 1, l'application est l'identité et tous les points sont fixes. Une homothétie conserve les angles et les rapports de distances ; elle transforme donc une figure en une figure semblable. Les longueurs sont multipliées par |k|.

Dans un espace vectoriel, il n'y a pas de centre à choisir : l'homothétie vectorielle de rapport k envoie chaque vecteur u sur k · u. C'est une multiplication scalaire et un cas particulier d'application linéaire. Dans le cadre affine, la composition d'homothéties peut produire une homothétie ou une translation ; avec les translations, ces transformations forment un groupe pour la composition.

Dans un repère, on cherche l'image du point M par l'homothétie de centre O et de rapport négatif −2.

Données. Le centre est O(0 ; 0), le point de départ est M(2 ; 1) et le rapport est k = −2.

1. Le vecteur allant de O à M a pour coordonnées (2 ; 1).

2. On multiplie ses deux coordonnées par −2 : (−2 × 2 ; −2 × 1) = (−4 ; −2).

3. Comme O est l'origine, le point image est M'(−4 ; −2). Le signe négatif place M' sur la demi-droite opposée à celle de M.

Contrôle. Les trois points sont alignés et OM' = 2 · OM en longueur. La représentation dans le repère rend visibles le passage de l'autre côté du centre et le doublement de la distance.

Pour construire l'agrandissement d'une figure depuis un point O, on trace chaque droite reliant O à un sommet, puis on reporte la distance multipliée par |k|, sur la même demi-droite si k est positif et sur la demi-droite opposée si k est négatif. Une simple mise à l'échelle sans centre imposé suffit si seule la taille finale compte.

En géométrie, une homothétie aide à établir que deux figures sont semblables : les sommets correspondants doivent être alignés avec un même centre et partager un rapport constant. Si l'on observe seulement un déplacement identique de tous les points, une translation est le modèle adapté.

Dans un espace vectoriel, multiplier toutes les coordonnées d'un vecteur par k réalise directement l'homothétie vectorielle. Cette écriture est préférable à une construction géométrique lorsque les coordonnées sont déjà connues.

Une translation. Elle applique à tous les points le même vecteur de déplacement et ne possède pas de centre fixe. Une homothétie fait au contraire varier le déplacement selon la distance au centre O.

Une similitude vectorielle générale. Elle peut combiner un changement d'échelle avec une rotation ou une réflexion. Dans une homothétie vectorielle, chaque vecteur reste colinéaire à son image et le facteur k est le même dans toutes les directions.

Rapport égal à 1. L'homothétie devient l'identité : tous les points sont fixes. Il serait alors faux de présenter O comme l'unique point fixe.

Rapport égal à 0. La définition retenue ici impose k non nul. Avec k = 0, tous les points seraient envoyés sur O et l'application ne serait pas inversible ; elle n'appartient donc pas au groupe décrit.

Rapport négatif. La longueur est multipliée par |k|, et non par k. Pour k = −2, une longueur positive double tandis que le point image passe sur la demi-droite opposée.

Centre et cadre. Le centre appartient à la description affine. Dans un espace vectoriel, l'expression « homothétie vectorielle » désigne directement l'application u ↦ k · u, centrée de fait sur le vecteur nul.

transformation géométrique — Situez l'homothétie parmi les applications qui déplacent ou transforment les figures.

espace vectoriel — Approfondissez le cadre où l'homothétie devient une multiplication scalaire.

translation — Comparez l'autre famille nécessaire pour comprendre la composition des transformations affines étudiées ici.