translation

Sur un quadrillage, imaginez que chaque point d'un triangle avance de trois carreaux vers la droite et d'un carreau vers le bas. Le triangle glisse tout entier : sa taille, sa forme et son orientation ne changent pas. Ce déplacement commun est une translation.

Lorsque le déplacement n'est pas nul, une flèche suffit à le décrire. Sa direction, son sens et sa longueur indiquent exactement où chaque point doit arriver. Deux points différents parcourent ainsi des segments parallèles, de même sens et de même longueur.

Un espace affine est un cadre dans lequel on peut soustraire deux points pour obtenir un vecteur. Soit v un vecteur fixé. La translation de vecteur v, notée t_v, associe à chaque point M l'unique point M′ vérifiant $\overrightarrow{M{M}^{\mathrm{\prime }}}=v\backslash overrightarrow\{MM\text{'}\}=v$. Elle est bijective : sa réciproque est la translation de vecteur −v.

Dans un repère du plan, si le vecteur v a pour coordonnées (a, b), le point de coordonnées (x, y) a pour image (x + a, y + b). La translation conserve les longueurs, les angles et l'orientation dans le plan euclidien : c'est une isométrie directe. Si v est non nul, aucun point n'est fixe. Si v est nul, la translation est l'identité et tous les points sont fixes.

Composer la translation de vecteur u avec celle de vecteur v donne la translation de vecteur u + v. Comme l'addition des vecteurs est commutative, les translations forment un groupe abélien isomorphe à l'espace vectoriel sous-jacent. Dans le groupe des homothéties-translations, elles constituent en outre un sous-groupe distingué.

On translate le triangle dont les sommets sont A(1, 2), B(4, 2) et C(2, 4) par le vecteur v de coordonnées (3, −1). Les données sont donc les trois couples de coordonnées et le déplacement commun : 3 horizontalement, puis −1 verticalement.

1. Ajoutez 3 à l'abscisse et −1 à l'ordonnée de A : A′ a pour coordonnées (4, 1).
2. Appliquez la même opération à B : B′ a pour coordonnées (7, 1).
3. Appliquez-la à C : C′ a pour coordonnées (5, 3).

Le triangle image a donc pour sommets A′(4, 1), B′(7, 1) et C′(5, 3). Un contrôle se fait sommet par sommet : les trois vecteurs allant d'un sommet à son image ont tous pour coordonnées (3, −1). Les côtés AB et A′B′ mesurent aussi chacun 3 unités, ce qui confirme l'absence de déformation.

Pour construire l'image d'une figure sur un quadrillage, on déplace chacun de ses points remarquables du même nombre de cases horizontalement et verticalement. Une rotation convient au contraire si la figure doit pivoter autour d'un centre ; comme la translation, elle conserve l'orientation.

Pour vérifier qu'un déplacement est une translation, on compare les vecteurs reliant plusieurs points à leurs images. Ils doivent avoir exactement les mêmes direction, sens et longueur. Un seul vecteur différent suffit à écarter la translation.

Dans un repère, on additionne les coordonnées du vecteur de translation à celles de chaque point. Cette méthode est préférable au comptage visuel dès que le quadrillage est absent ou que les coordonnées ne sont pas entières.

Translation et rotation. Une rotation fait tourner les points autour d'un centre ; les vecteurs allant d'un point à son image ne sont généralement pas tous égaux. Dans l'exemple du triangle, les trois déplacements (3, −1) identiques caractérisent une translation.

Translation et homothétie. Une homothétie dont la valeur absolue du rapport diffère de 1 agrandit ou réduit les longueurs à partir d'un centre. Une translation conserve toutes les longueurs et déplace chaque point du même vecteur ; deux côtés correspondants gardent donc la même mesure.

Vecteur nul. L'affirmation « une translation n'a aucun point fixe » exige un vecteur non nul. Pour le vecteur nul, chaque point reste à sa place : la transformation est l'identité.

Un seul point ne suffit pas. Faire passer A en A′ détermine un candidat pour le vecteur, mais ne prouve pas que toute la figure suit cette translation. Il faut contrôler au moins les autres points qui définissent la figure.

Cadre affine ou euclidien. La définition par un vecteur a un sens dans tout espace affine. Les mots « longueur », « angle » et « isométrie » supposent en plus une structure euclidienne ; sans elle, il faut s'en tenir au déplacement affine.

Coordonnées et géométrie. Le couple (3, −1) dépend du repère choisi, tandis que le vecteur géométrique ne dépend pas de ces coordonnées. Si le repère change, il faut recalculer les composantes plutôt que recopier le couple.

La composition révèle la structure algébrique des translations : au vecteur nul correspond l'identité, au vecteur opposé correspond la transformation réciproque, et à l'addition de deux vecteurs correspond la composition de deux déplacements. Cette correspondance explique précisément pourquoi leur groupe est abélien et isomorphe à l'espace vectoriel sous-jacent.

Le caractère distingué du sous-groupe signifie qu'une translation conjuguée par une homothétie-translation reste une translation. Le vecteur peut changer, mais la nature de la transformation est préservée.