GéométrieObjet mathématique · Glossaire
groupe des similitudes directes de même centre
Dans le plan affine euclidien orienté, les similitudes directes qui fixent un même point Ω sont les transformations obtenues en combinant, autour de Ω, une dilatation de rapport strictement positif et une rotation. Munies de la composition, elles forment un groupe commutatif : en coordonnées complexes centrées en Ω, elles correspondent aux multiplications par des nombres complexes non nuls, dont le produit ne dépend pas de l’ordre.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les paramètres qui déterminent une similitude directe fixant Ω.
- Relier la composition des transformations à la multiplication dans ℂ*.
- Vérifier la commutativité sur un exemple numérique exact.
- Reconnaître les cas exclus ou conventionnels, notamment a = 0 et l’identité.
En clair
Placez une punaise en un point Ω d’une feuille. Autour de ce point immobile, agrandissez ou réduisez une figure, puis faites-la tourner sans la retourner. Vous obtenez une similitude directe qui fixe Ω.
En enchaînant deux transformations de ce genre, le point Ω reste fixe et les longueurs sont multipliées par les deux facteurs successifs. Les angles de rotation s’additionnent. L’ordre des deux transformations ne change donc pas le résultat : c’est cette stabilité qui forme un groupe commutatif.
Définition
Dans un plan affine euclidien orienté, fixons un point Ω. Une similitude directe de même centre est une transformation qui fixe Ω, conserve les angles orientés et multiplie toutes les longueurs par un même rapport strictement positif. Elle se décompose en une dilatation de centre Ω et de rapport positif, suivie d’une rotation de centre Ω.
Choisissons une coordonnée complexe dans laquelle Ω a pour affixe 0. À tout nombre complexe non nul a correspond la transformation fa définie par . Le module de a est le rapport de la similitude ; son argument est l’angle de rotation, défini modulo un tour complet. Réciproquement, toute similitude directe fixant Ω possède cette forme.
La composition correspond à la multiplication : . Le paramètre 1 donne l’identité, le paramètre 1/a donne l’inverse de fa, et le produit de deux paramètres non nuls reste non nul. Ces transformations forment donc un groupe abélien, isomorphe au groupe multiplicatif ℂ*. L’identité y est incluse par convention bien qu’elle ne possède pas de centre unique.
De quoi c'est fait
La structure repose sur quatre données. Le plan euclidien fournit les distances et les angles ; son orientation permet de distinguer un angle positif d’un angle négatif. Le point Ω est commun à toutes les transformations et reste fixe. Le rapport r, strictement positif, règle l’agrandissement ou la réduction. Enfin, l’angle θ règle la rotation autour de Ω et se lit modulo 2π.
Le couple formé par r et θ détermine un complexe non nul a, tandis que le choix de Ω fixe l’origine du modèle. Ces données suffisent à construire l’image de chaque point. À la composition, les rapports se multiplient et les angles s’additionnent. La couleur, le tracé ou la taille initiale de la figure représentée ne définissent pas le groupe.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan complexe, le centre Ω est l’origine et le point P a pour affixe 1. Considérons la similitude f de multiplicateur a = 2i, puis la similitude g de multiplicateur b = (1 − i)/2. Les deux multiplicateurs sont non nuls.
1. Appliquez g à P : son affixe devient (1 − i)/2, soit le point de coordonnées (1/2 ; −1/2).
2. Appliquez ensuite f. Le multiplicateur total est :
Le point final a donc pour coordonnées (1 ; 1).
3. Inversez l’ordre. Le produit (1 − i)/2 × 2i vaut encore 1 + i, donc g après f envoie aussi P sur (1 ; 1).
Le contrôle géométrique confirme le calcul : le produit 1 + i a pour module √2 et pour argument π/4. L’image finale est donc à distance √2 de Ω, sur la demi-droite faisant un angle de 45° avec l’axe horizontal. La figure matérialise les deux chemins qui aboutissent au même point.
En pratique
Pour composer plusieurs similitudes autour d’un même point, remplacez chaque transformation par son multiplicateur complexe. Le produit fournit directement le rapport total et l’angle total. Un calcul géométrique transformation par transformation reste préférable si les centres diffèrent.
Pour retrouver une transformation à partir de l’image d’un point P distinct de Ω, comparez les vecteurs allant de Ω vers P et vers son image. Leur quotient complexe donne le multiplicateur. Si l’orientation est renversée, ce modèle par multiplication ne convient pas : il faut faire intervenir une conjugaison complexe.
Pour vérifier un résultat, contrôlez séparément la distance au centre et l’angle autour du centre. Dans l’exemple, la distance finale vaut √2 fois la distance initiale et la direction a tourné de 45°.
À ne pas confondre
Similitude directe et similitude indirecte. Une similitude directe préserve l’orientation ; une similitude indirecte la renverse. L’image d’un triangle dont les sommets sont parcourus dans le sens antihoraire garde ce sens dans le premier cas et l’inverse dans le second.
Groupe de même centre et ensemble de toutes les similitudes directes. Deux similitudes directes fixant Ω commutent. Avec des centres distincts, ce critère disparaît : deux rotations autour de points différents peuvent dépendre de l’ordre de composition.
Similitude, rotation et homothétie. Une rotation a un rapport égal à 1 ; une dilatation positive a un angle nul. La similitude générale peut modifier simultanément la taille et la direction, comme le multiplicateur 1 + i de l’exemple.
Limites et pièges
Multiplicateur nul. Si a = 0, tous les points sont envoyés sur Ω. La transformation n’est plus bijective et n’a pas d’inverse ; elle n’appartient donc pas au groupe. Il faut imposer a ≠ 0.
Identité. Pour a = 1, chaque point du plan est fixe. L’identité n’a donc pas un centre géométrique unique, mais elle est rangée parmi les transformations fixant le centre choisi afin de fournir l’élément neutre du groupe.
Angle non unique. Ajouter 2π à l’argument de a ne change pas la transformation. Il faut comparer les angles modulo 2π, et non leurs seules écritures numériques.
Signe du rapport d’homothétie. La décomposition est sans ambiguïté si la dilatation a un rapport positif. Autoriser un rapport négatif déplace une demi-tour entre l’homothétie et la rotation ; il faut alors annoncer la convention choisie.
Pour aller plus loin
La fiche similitude directe replace le cas de même centre dans la famille plus large des transformations qui préservent l’orientation.
La fiche homothétie approfondit la composante qui multiplie toutes les distances au centre par un même rapport.
L’article Des nombres pas si complexes prolonge le modèle algébrique utilisé ici pour coder rotations et changements d’échelle.
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