GéométrieNotion · Glossaire
similitude indirecte
Une similitude indirecte est une similitude qui n'est pas directe, c'est-à-dire qui ne conserve pas les angles orientés mais transforme chaque angle orienté en son opposé. Dans un espace affine euclidien orienté, elle est la composée d'une homothétie et d'un anti-déplacement. La composée de deux similitudes indirectes est toujours une similitude directe. Dans le plan complexe, une similitude indirecte de rapport k s'exprime par z' = a·z̄ + b, où z̄ désigne le conjugué de z et |a| = k.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le retournement d'une figure au renversement des angles orientés.
- Lire et appliquer l'écriture z′ = a·z̄ + b.
- Vérifier sur un triangle que les longueurs sont multipliées par 2 et l'orientation inversée.
- Distinguer similitude indirecte, similitude directe, antidéplacement et homothétie.
En clair
Imaginez un triangle dessiné sur une feuille transparente. Retournez la feuille comme dans un miroir, puis agrandissez le dessin : la forme reste semblable, mais son orientation s'inverse. Les longueurs sont toutes multipliées par un même nombre et les angles gardent leur mesure.
Cette transformation est une similitude indirecte. Le mot « indirecte » signale le retournement : si les sommets du triangle se parcouraient dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, leurs images se parcourent dans l'autre sens.
Définition
Dans un plan euclidien orienté, une similitude indirecte est une transformation qui multiplie toutes les distances par un même nombre strictement positif, appelé rapport de similitude, tout en renversant l'orientation. Elle conserve donc la mesure des angles non orientés, mais chaque angle orienté devient son opposé. Elle peut se décomposer en une homothétie, qui change l'échelle, et un antidéplacement, qui conserve les distances tout en inversant l'orientation.
Dans le plan complexe, le point de coordonnée complexe z a pour image le point de coordonnée z′ selon la formule . Les nombres a et b sont complexes, le coefficient a est non nul et le nombre z̄ est le conjugué de z. Le rapport, noté k, vaut . La conjugaison porte le renversement d'orientation ; la multiplication par a règle l'échelle et la direction, tandis que l'addition de b déplace l'image.
La composition de deux similitudes indirectes est directe : les deux renversements d'orientation se compensent. Cette propriété concerne l'orientation, pas le rapport, qui devient le produit des deux rapports.
Un exemple, pas à pas
Considérons le triangle dont les sommets ont pour coordonnées complexes A = 0, B = 1 et C = i. On applique la transformation qui associe à z le nombre z′ défini par . Les données sont donc le coefficient a = 2, le terme b = 1 et le rapport attendu k = |2| = 2.
1. Pour A, le conjugué de 0 vaut 0 : A′ = 1.
2. Pour B, le conjugué de 1 vaut 1 : B′ = 3.
3. Pour C, le conjugué de i vaut −i : C′ = 1 − 2i.
4. Le segment AB mesure 1 et son image A′B′ mesure 2. De même, AC mesure 1 et A′C′ mesure 2 : les longueurs sont bien doublées.
Le parcours A, B, C est inverse des aiguilles d'une montre, tandis que A′, B′, C′ est dans le sens des aiguilles d'une montre. Le contrôle conjoint des longueurs et du sens confirme une similitude de rapport 2 et indirecte.
En pratique
Sur une figure, comparez deux longueurs correspondantes, puis le sens de parcours de trois points non alignés : un même rapport accompagné d'un sens inversé fournit des indices de similitude indirecte. Ces contrôles sur quelques points ne prouvent toutefois pas qu'une application du plan est une similitude ; il faut une propriété valable sur tout le plan ou une forme analytique suffisante.
Dans un calcul complexe, la présence du conjugué z̄ dans une expression de la forme z′ = a·z̄ + b indique le caractère indirect, à condition que a soit non nul. Sans conjugaison, une expression z′ = a·z + b décrit une similitude directe.
Pour contrôler une transformation déjà établie, choisissez deux segments non nuls et un troisième point hors de leur droite. Les rapports de longueurs testent l'échelle ; l'ordre des trois images teste l'orientation. Ces vérifications écartent une simple ressemblance visuelle, mais un accord sur ces seuls points ne démontre pas que l'application entière est une similitude.
À ne pas confondre
Similitude directe. Elle conserve l'orientation, alors que la similitude indirecte la renverse. Dans le plan complexe, z′ = 2z + 1 est directe ; z′ = 2z̄ + 1 est indirecte.
Antidéplacement. Il s'agit d'une isométrie qui renverse l'orientation : toutes les distances restent inchangées. Une similitude indirecte de rapport 2, comme dans l'exemple, double au contraire chaque distance ; elle n'est donc pas un antidéplacement.
Homothétie. Elle change l'échelle autour d'un centre et ne suffit pas, dans le plan, à caractériser le retournement d'une similitude indirecte. Dans z′ = 2z̄ + 1, c'est la conjugaison, et non le facteur 2, qui inverse l'orientation.
Limites et pièges
Coefficient nul. Si a = 0 dans z′ = a·z̄ + b, tous les points ont la même image b. Le rapport serait nul : la transformation n'est pas une similitude au sens usuel, qui exige k > 0.
Points alignés. Trois points alignés n'ont pas d'orientation plane permettant de constater un renversement. Il faut choisir trois points non alignés ou revenir à la présence de la conjugaison dans l'écriture complexe.
Rapport égal à 1. La transformation reste indirecte, mais elle devient un antidéplacement : les distances ne changent plus. Ce cas charnière ne la rend pas directe, car l'orientation demeure inversée.
Composition. Composer deux transformations indirectes ne donne pas une troisième transformation indirecte. Si et , alors :
La conjugaison de z a disparu : la composée est directe et son rapport vaut |c|·|a|.
Pour aller plus loin
L'antidéplacement isole la partie qui renverse l'orientation tout en conservant les distances.
L'homothétie précise le changement d'échelle qui intervient dans la décomposition d'une similitude indirecte.
Le conjugué d'un nombre complexe explique algébriquement le retournement du plan visible dans la formule z′ = a·z̄ + b.
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