antidéplacement

Imaginez un triangle dessiné sur une feuille transparente. Retournez la feuille comme dans un miroir, puis faites-la glisser sans la tourner : les longueurs et les angles restent les mêmes, mais l'ordre des sommets s'inverse. Cette transformation est un antidéplacement.

Dans le plan, une simple réflexion en est déjà un exemple. Si un glissement parallèle à l'axe du miroir suit la réflexion, on obtient une symétrie glissée.

Un antidéplacement est une isométrie affine qui renverse l'orientation. « Isométrie » signifie que toutes les distances sont conservées ; « rétrograde » signifie qu'un repère orienté positivement devient orienté négativement. Dans le plan euclidien muni de coordonnées, sa partie linéaire est représentée par une matrice orthogonale de déterminant −1.

Toute transformation de ce type dans le plan peut s'écrire comme une réflexion par rapport à une droite suivie d'une translation. Après un éventuel changement de l'axe de réflexion, le vecteur de translation peut être choisi parallèle à cet axe. Si ce vecteur est nul, l'antidéplacement est une réflexion ; s'il ne l'est pas, c'est une symétrie glissée.

Dans l'exemple conducteur, la réflexion par rapport à l'axe horizontal transforme le point de coordonnées (x, y) en (x, −y), puis la translation de trois unités vers la droite donne la transformation g : $g(x,y)=(x+3,-y)g(x,y)=(x+3,-y)$. Elle conserve les distances et sa partie linéaire a pour déterminant −1.

On part du triangle dont les sommets sont A(0, 1), B(2, 1) et C(0, 3). La transformation choisie est la réflexion par rapport à l'axe horizontal, suivie d'une translation de vecteur (3, 0).

1. La réflexion change le signe de la seconde coordonnée : A devient (0, −1), B devient (2, −1) et C devient (0, −3).
2. La translation ajoute 3 à la première coordonnée : A′(3, −1), B′(5, −1) et C′(3, −3).
3. Le triangle image a donc la même forme, mais l'ordre d'orientation de ses sommets est inversé.

Le contrôle se refait sur les longueurs : AB = A′B′ = 2, AC = A′C′ = 2 et BC = B′C′ = 2√2. En appliquant deux fois la transformation, on obtient g²(x, y) = (x + 6, y), une translation de six unités ; ce second contrôle confirme que le glissement initial vaut trois unités.

Pour reconnaître une transformation du plan à partir de points et de leurs images, on vérifie d'abord que les distances sont conservées. Si l'orientation d'un triangle est inversée, on cherche un antidéplacement ; si elle est conservée, on cherche plutôt un déplacement.

Pour construire l'image d'une figure, on effectue la réflexion puis le glissement parallèle à l'axe. Dans l'exemple, chaque seconde coordonnée change de signe et chaque première coordonnée augmente de 3.

Pour distinguer une réflexion d'une symétrie glissée, on cherche des points fixes. Une droite entière est fixe dans le premier cas ; aucun point ne l'est lorsque le glissement parallèle est non nul.

Un déplacement conserve aussi les distances, mais il conserve l'orientation. Une translation ou une rotation transforme un triangle orienté dans le même sens ; l'antidéplacement inverse ce sens.

La symétrie centrale du plan n'est pas un antidéplacement. Elle équivaut à une rotation d'un demi-tour et conserve l'orientation : un triangle et son image gardent le même ordre orienté de sommets.

L'écriture « translation puis réflexion » n'est pas unique si la translation est quelconque. Dans le plan, on choisit un axe adapté pour ramener le glissement à une direction parallèle à cet axe ; c'est cette forme qui sépare nettement réflexion et symétrie glissée.

L'absence de point fixe ne suffit pas, à elle seule, à reconnaître un antidéplacement : une translation non nulle n'a pas non plus de point fixe, mais elle conserve l'orientation. Il faut contrôler simultanément les distances et l'orientation.

La classification en réflexion ou symétrie glissée est propre au plan euclidien. En dimension supérieure, le signe −1 du déterminant caractérise encore le renversement d'orientation, mais la géométrie des points fixes et la décomposition demandent davantage de données.

La fiche symétrie orthogonale précise le rôle de l'axe et la construction de l'image d'un point.

La fiche translation détaille le glissement qui, combiné à une réflexion, produit une symétrie glissée.

La fiche Réflexion permet d'approfondir ce cas particulier d'antidéplacement, où le glissement parallèle est nul.