symétrie glissée

Imaginez une empreinte dessinée au-dessus d'une ligne droite. On la retourne comme dans un miroir par rapport à cette ligne, puis on la fait glisser le long de la ligne. La position finale est l'image de départ par une symétrie glissée.

Le retournement inverse l'orientation, tandis que le glissement conserve les longueurs et les angles. Lorsque le glissement parallèle à l'axe n'est pas nul, aucun point ne reste à sa place. Faire d'abord glisser puis retourner conduit pourtant au même résultat.

Dans le plan euclidien, on choisit une droite appelée axe, notée D, et un vecteur de translation, noté u. Dans la forme canonique, le vecteur u est parallèle à D. La symétrie glissée applique la réflexion orthogonale d'axe D, puis la translation de vecteur u. Elle conserve les distances et inverse l'orientation : c'est donc une isométrie indirecte, aussi appelée antidéplacement.

La réflexion est notée s_D et la translation T_u. Parce que u est parallèle à D, les deux opérations commutent : $T_u\circ s_D=s_D\circ T_{u}T\_u\backslash circ\; s\_D=s\_D\backslash circ\; T\_u$. Si u est non nul, la transformation n'a aucun point fixe. Si u est nul, elle se réduit au contraire à la réflexion d'axe D, dont tous les points de D sont fixes.

Une translation quelconque se décompose en une composante parallèle à D et une composante normale à D. Si seule la composante normale subsiste, la composée est une réflexion orthogonale dont l'axe, parallèle à D, dépend de l'ordre des opérations. Si les deux composantes sont non nulles, la même transformation se réécrit sous la forme canonique avec un axe parallèle décalé ; les opérations initiales ne commutent plus. Plus généralement, une réflexion suivie d'une translation dont le vecteur n'est pas orthogonal à l'axe donne ainsi une symétrie glissée et reste un antidéplacement.

Dans un repère orthonormé, l'axe D est l'axe horizontal. Le point de départ est A(1 ; 2) et le vecteur u vaut (4 ; 0), donc il est parallèle à D. La construction géométrique montre successivement le retournement et le glissement.

1. La réflexion par rapport à D conserve l'abscisse 1 et change l'ordonnée 2 en −2. Elle envoie A sur A′(1 ; −2).
2. La translation ajoute 4 à l'abscisse et 0 à l'ordonnée. Elle envoie A′ sur B(5 ; −2).
3. L'image de A par la symétrie glissée est donc B(5 ; −2).

Le contrôle consiste à inverser l'ordre. La translation envoie d'abord A(1 ; 2) sur le point (5 ; 2), puis la réflexion donne encore B(5 ; −2). Les deux chemins aboutissent aux mêmes coordonnées, ce qui vérifie ici la commutativité.

Sur une frise ou un pavage, on suit un motif retourné qui réapparaît plus loin le long d'une même direction. Si le motif est seulement décalé sans être retourné, une translation suffit ; l'inversion d'orientation fait préférer la symétrie glissée.

Pour construire l'image d'un point, on trace d'abord son symétrique par rapport à l'axe, puis on reporte le vecteur parallèle à cet axe. On peut aussi inverser ces deux gestes, mais seulement lorsque le vecteur est bien parallèle.

Pour reconnaître la transformation à partir de deux figures, on contrôle trois indices : mêmes distances, orientation inversée et absence de point fixe lorsque le glissement est non nul. Un axe de réflexion visible avec des points immobiles signale plutôt une réflexion seule.

Une translation. Elle conserve l'orientation, alors qu'une symétrie glissée l'inverse. Dans l'exemple, une translation de vecteur (4 ; 0) enverrait A(1 ; 2) sur (5 ; 2), et non sur B(5 ; −2).

Une réflexion orthogonale. Elle possède un axe entier de points fixes, tandis qu'une symétrie glissée de vecteur parallèle non nul n'en possède aucun. Si le vecteur u vaut zéro, la transformation devient précisément une réflexion : il s'agit alors d'un cas dégénéré.

Glissement nul. Si le vecteur parallèle u est nul, l'affirmation « aucun point fixe » devient fausse : la transformation est la réflexion d'axe D et chaque point de D reste invariant. Il faut isoler ce cas avant d'utiliser le critère d'absence de point fixe.

Vecteur normal à l'axe. La composée n'est pas une symétrie glissée non dégénérée : c'est une réflexion par rapport à une droite parallèle à D. Changer l'ordre déplace cet axe de l'autre côté de D ; les deux compositions ne sont donc pas égales en général.

Vecteur oblique. Lorsque u possède à la fois une composante parallèle et une composante normale, la réflexion et la translation données ne commutent pas. On décompose u, puis on décale l'axe de la moitié de la composante normale pour retrouver une écriture canonique avec le seul glissement parallèle.

La translation permet d'isoler le glissement parallèle et de suivre l'effet du vecteur sur chaque point.

L'antidéplacement replace la symétrie glissée dans la famille des isométries du plan qui inversent l'orientation.