théorème de Cartan-Dieudonné

Imaginez une feuille transparente que l’on retourne autour d’une droite : tous les points passent de l’autre côté, à la même distance. C’est une réflexion. En enchaînant quelques retournements de ce type, on peut reproduire n’importe quelle transformation linéaire qui conserve longueurs et angles.

Le théorème de Cartan-Dieudonné ajoute une limite remarquable : dans un espace de dimension n, n réflexions au plus suffisent. Dans le plan, deux miroirs bien choisis produisent ainsi toute rotation autour de l’origine.

Soit E un espace vectoriel réel euclidien de dimension finie n. Son produit scalaire associe à deux vecteurs x et y le nombre noté ⟨x, y⟩. Une isométrie linéaire u de E conserve ce produit scalaire : $⟨u(x),u(y)⟩=⟨x,y⟩\backslash langle\; u(x),u(y)\backslash rangle=\backslash langle\; x,y\backslash rangle$. L’ensemble de ces applications, muni de la composition, est le groupe orthogonal O(E).

Une réflexion orthogonale fixe tous les vecteurs d’un hyperplan et change en son opposé la composante perpendiculaire à cet hyperplan. Le théorème de Cartan-Dieudonné affirme que toute application u appartenant à O(E) est une composition d’au plus n telles réflexions. L’identité correspond à une composition vide, tandis qu’une réflexion elle-même n’exige qu’un facteur.

Le résultat porte sur les isométries linéaires, donc sur des transformations qui fixent l’origine. En dimension 2, une rotation non triviale est une composition de deux réflexions dont les axes se coupent à l’origine. En dimension 3, la borne devient trois réflexions.

Si E est un espace vectoriel euclidien de dimension finie n et si u est une isométrie linéaire de E, alors il existe un entier k compris entre 0 et n et des réflexions orthogonales s₁, …, s_k tels que $u=s_k\circ \cdots \circ s_{1}u=s\_k\backslash circ\backslash cdots\backslash circ\; s\_1$. Autrement dit, les réflexions engendrent tout le groupe orthogonal O(E), avec au plus n facteurs pour chaque élément.

Le cadre est un espace vectoriel réel de dimension finie, équipé d’un produit scalaire euclidien. La transformation doit être linéaire et conserver ce produit scalaire ; elle fixe donc l’origine. Les facteurs obtenus sont des réflexions par rapport à des hyperplans vectoriels, et leur nombre ne dépasse pas la dimension n.

Une translation du plan conserve les distances, mais ne fixe pas l’origine : elle n’est pas une isométrie linéaire. L’énoncé ne permet donc pas de la décomposer directement en réflexions linéaires. Pour une isométrie affine, il faut d’abord distinguer sa translation et sa partie linéaire, ou employer la théorie des réflexions affines.

Dans le plan muni de son repère orthonormé, considérons le vecteur v de coordonnées (2, 1). On veut obtenir sa rotation de 90° dans le sens antihoraire. On utilise la réflexion s_x par rapport à l’axe horizontal, puis la réflexion s_d par rapport à la droite d’équation y = x.

1. La première réflexion conserve la première coordonnée et change le signe de la seconde. Elle envoie donc v = (2, 1) sur s_x(v) = (2, −1).

2. La seconde réflexion échange les deux coordonnées. Elle envoie le vecteur intermédiaire (2, −1) sur s_d(2, −1) = (−1, 2).

3. Notons S_x et S_d les matrices respectives des deux réflexions. Leur produit donne : La matrice finale est bien celle de la rotation antihoraire de 90°.

Le résultat est le vecteur (−1, 2). Pour contrôler le calcul, les longueurs au carré valent 2² + 1² = 5 avant la transformation et (−1)² + 2² = 5 après : les deux réflexions, puis leur composition, conservent bien la longueur.

Pour analyser une matrice orthogonale, une décomposition en réflexions remplace une transformation globale par des gestes géométriques élémentaires. Si la matrice ne conserve pas le produit scalaire, une factorisation générale, telle qu’une décomposition QR, est plus adaptée.

En géométrie du plan, deux axes de réflexion sécants permettent de construire une rotation autour de leur point d’intersection. Si les axes sont parallèles, leur composition donne plutôt une translation : ce cas relève alors des isométries affines.

Pour connaître l’orientation d’une isométrie linéaire, on compte la parité des réflexions dans une décomposition. Un nombre pair conserve l’orientation ; un nombre impair la renverse. Le déterminant fournit le même contrôle, avec respectivement les valeurs 1 et −1.

Réflexion et rotation. Une réflexion fixe un hyperplan point par point et renverse l’orientation ; une rotation plane non triviale conserve l’orientation et ne fixe que l’origine. La transformation (x, y) ↦ (x, −y) est une réflexion, tandis que (x, y) ↦ (−y, x) est une rotation de 90°.

Isométrie linéaire et isométrie affine. Toutes deux conservent les distances, mais seule la première fixe nécessairement l’origine. Une rotation autour de l’origine est linéaire ; une translation par un vecteur non nul est affine et sort du cadre direct du théorème énoncé ici.

« Au plus n » ne signifie pas « exactement n ». En dimension n, l’identité utilise zéro réflexion et une réflexion en utilise une seule. Il faut chercher une décomposition courte sans ajouter artificiellement des paires de réflexions identiques.

L’ordre des facteurs compte. Deux réflexions ne commutent pas en général. Dans l’exemple, appliquer d’abord la réflexion d’axe y = x puis celle d’axe horizontal produit une rotation de 90° dans le sens horaire, et non la rotation antihoraire recherchée.

La parité est imposée. Chaque réflexion a pour déterminant −1. Une isométrie de déterminant 1 ne peut donc apparaître qu’avec un nombre pair de réflexions, et une isométrie de déterminant −1 avec un nombre impair. Une décomposition de mauvaise parité signale une erreur.

Le cadre euclidien est essentiel à cette formulation. Pour une forme quadratique indéfinie, un espace complexe ou une dimension infinie, les notions de réflexion et les hypothèses changent. Il faut alors employer la version du théorème adaptée au corps et à la forme considérés.

Le Groupe orthogonal situe les isométries linéaires que les réflexions engendrent et éclaire leur structure algébrique.

La fiche Réflexion précise le geste géométrique élémentaire utilisé dans chaque facteur de la décomposition.

La matrice orthogonale donne l’écriture matricielle des transformations auxquelles le théorème s’applique dans une base orthonormée.