AlgèbreNotion · Glossaire
isométrie vectorielle
Dans un espace vectoriel normé, une isométrie vectorielle est une application linéaire de l'espace dans lui-même qui préserve la norme de chaque vecteur. Formellement, une application f est une isométrie vectorielle si, pour tout vecteur x, ‖f(x)‖ = ‖x‖. Lorsque l'espace est muni d'un produit scalaire, une isométrie vectorielle est aussi appelée transformation orthogonale dans le cas réel, ou transformation unitaire dans le cas complexe. Elle conserve alors non seulement les normes mais aussi les produits scalaires. Les isométries vectorielles d'un espace de dimension finie forment le groupe orthogonal O(n) dans le cas réel, et le groupe unitaire U(n) dans le cas complexe. En dimension finie, une isométrie vectorielle est nécessairement bijective, et son inverse est également une isométrie vectorielle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une isométrie vectorielle par la conservation de la norme.
- Vérifier une rotation de 90° sur le vecteur de coordonnées (3, 4).
- Reconnaître une matrice orthogonale avec le critère A exposant T fois A égale I.
- Distinguer isométrie vectorielle, isométrie affine et automorphisme linéaire.
- Repérer la limite de la bijectivité en dimension infinie.
En clair
Tracez une flèche qui avance de 3 carreaux vers la droite et de 4 vers le haut : sa longueur vaut 5. Un quart de tour autour de l’origine la transforme en une flèche de 4 carreaux vers la gauche et de 3 vers le haut. La direction change, mais la longueur reste 5.
Une isométrie vectorielle généralise ce geste : elle transforme toutes les flèches de façon linéaire sans en étirer ni en raccourcir aucune.
Définition
Soit un espace vectoriel normé E et une application linéaire f de E dans E. L’application f est une isométrie vectorielle lorsque, pour tout vecteur x de E, . La linéarité impose notamment f(0) = 0 : la transformation agit autour de l’origine. La conservation de la norme rend f injective. En dimension finie, elle suffit aussi à rendre f bijective, et l’application inverse f−1 est encore une isométrie vectorielle.
Si la norme provient d’un produit scalaire, l’identité de polarisation permet de retrouver ce produit à partir des normes. La transformation conserve donc aussi le produit scalaire et les angles. En dimension finie, on parle de transformation orthogonale dans le cas réel et de transformation unitaire dans le cas complexe.
Dans une base orthonormée d’un espace réel de dimension n, la matrice A d’une telle transformation vérifie . Les matrices correspondantes forment le groupe orthogonal O(n). Dans le cas complexe, la transposée conjuguée A* remplace la transposée, et les matrices unitaires forment le groupe U(n).
Un exemple, pas à pas
Dans le plan réel muni du produit scalaire usuel, considérons la rotation R d’un quart de tour dans le sens direct. Sa matrice dans la base orthonormée usuelle est A, et le vecteur étudié est u.
Données : A a pour lignes (0, −1) et (1, 0) ; u a pour coordonnées (3, 4).
Données : A a pour lignes (0, −1) et (1, 0) ; u a pour coordonnées (3, 4).
1. Le produit matriciel donne R(u) = (−4, 3). La flèche a bien tourné de 90° autour de l’origine.
2. La norme de u vaut √(32 + 42) = 5. Celle de R(u) vaut √((−4)2 + 32) = 5 : la longueur est conservée.
3. Pour contrôler toute la transformation plutôt qu’un seul vecteur, on calcule . Ce critère prouve que la norme de chaque vecteur est préservée. La construction géométrique met en regard u et R(u), tous deux de longueur 5.
4. Enfin, la rotation de −90° ramène R(u) sur u. Elle est l’inverse de R et conserve elle aussi les normes.
En pratique
En géométrie, une rotation ou une symétrie linéaire déplace les vecteurs sans changer leurs longueurs ni leurs angles. Si la transformation doit aussi déplacer l’origine, il faut plutôt employer une isométrie affine.
En calcul matriciel réel, tester l’égalité ATA = I est plus efficace que d’essayer de nombreux vecteurs. Si l’égalité échoue, la matrice modifie la norme dans au moins une direction, par étirement ou raccourcissement, et n’est pas orthogonale.
En calcul numérique, une matrice presque orthogonale peut révéler des erreurs d’arrondi. On mesure alors l’écart entre ATA et I au lieu d’exiger une égalité exacte entre nombres approchés.
À ne pas confondre
Isométrie affine. La transformation x ↦ R(x) + a peut conserver les distances tout en envoyant l’origine sur le vecteur a. Elle n’est linéaire que si a = 0. Une isométrie vectorielle, elle, fixe toujours l’origine.
Automorphisme linéaire. Toute isométrie vectorielle bijective est un automorphisme, mais la réciproque est fausse. Dans le plan, l’application qui double chaque coordonnée est bijective et linéaire, mais elle double aussi toutes les normes.
Vecteurs orthogonaux. Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul. Une transformation orthogonale est une application linéaire qui préserve le produit scalaire ; le mot qualifie ici la transformation entière, pas seulement une paire de vecteurs.
Limites et pièges
Dimension infinie. La conservation de la norme garantit l’injectivité, pas toujours la surjectivité. Sur l’espace des suites de carrés sommables, le décalage (x1, x2, …) ↦ (0, x1, x2, …) conserve la norme, mais aucune suite image ne commence par un nombre non nul. Il ne faut donc conclure à la bijectivité qu’en dimension finie ou après avoir vérifié la surjectivité.
Norme sans produit scalaire. Une isométrie vectorielle reste définie dans tout espace normé. En revanche, parler d’angles, de transformation orthogonale ou de groupe unitaire suppose la structure supplémentaire d’un produit scalaire adapté.
Contrôle sur quelques vecteurs. Vérifier uniquement u = (3, 4) ne prouve rien pour tous les autres vecteurs. Dans une base orthonormée réelle, le contrôle décisif porte sur ATA = I ; sans matrice, il faut revenir à la définition valable pour tout vecteur.
Pour aller plus loin
La fiche norme précise la notion de longueur que l’isométrie vectorielle doit conserver.
La fiche produit scalaire montre comment normes et angles se relient dans les espaces euclidiens.
La fiche matrice orthogonale approfondit le critère ATA = I utilisé pour reconnaître une isométrie en coordonnées.
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