Logique et ensemblesNotion · Glossaire
endomorphisme - algèbre générale -
En algèbre générale, un endomorphisme est un homomorphisme d'un ensemble structuré vers lui-même, c'est-à-dire une application qui conserve la structure de l'ensemble dont elle est issue et dans lequel elle prend ses valeurs. Dans le cadre des espaces vectoriels, un endomorphisme est une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même. Lorsque cet espace est de dimension au moins 2, ses endomorphismes forment une algèbre non commutative pour la composition des applications et l'addition.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le domaine et le codomaine communs qui caractérisent un endomorphisme.
- Vérifier la linéarité sur un exemple chiffré puis comprendre pourquoi le calcul se généralise.
- Distinguer endomorphisme, homomorphisme, automorphisme et application affine.
- Repérer les exceptions à l'affirmation de non-commutativité.
En clair
Imaginez une transformation qui déplace chaque flèche d'un plan, mais renvoie toujours une flèche du même plan. Si elle respecte l'addition des flèches et leur multiplication par un nombre, c'est un endomorphisme de ce plan vectoriel.
Par exemple, la transformation qui envoie le couple (x, y) sur (x + y, y) incline la grille sans sortir du plan. L'idée essentielle tient dans le préfixe « endo » : l'objet de départ et l'objet d'arrivée sont le même.
Définition
Soit E un ensemble muni d'une structure algébrique. Un endomorphisme de E est un homomorphisme de E vers E : son domaine et son codomaine coïncident, et il préserve les opérations qui définissent la structure. Pour un groupe, il respecte la loi de groupe. Pour un anneau, il respecte les opérations exigées par la convention retenue.
Lorsque E est un espace vectoriel sur un corps, un endomorphisme est une application f de E dans E telle que, pour tous vecteurs u et v et tout scalaire λ, . Si E est de dimension finie, il se représente par une matrice carrée dans une base choisie. La matrice dépend de la base, mais l'endomorphisme, lui, n'en dépend pas.
Les endomorphismes d'un espace vectoriel s'additionnent point par point, se multiplient par des scalaires et se composent. Ces opérations forment l'algèbre des endomorphismes, notée End(E). La composition y est en général non commutative : f après g ne donne pas forcément g après f.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan vectoriel réel, on considère l'application f qui envoie (x, y) sur (x + y, y). Les données sont les vecteurs u = (2, 1) et v = (1, −1), ainsi que le scalaire 2. La figure matérialise l'effet de f sur u et sur les deux vecteurs de base.
1. On calcule f(u) = f(2, 1) = (3, 1).
2. On calcule f(v) = f(1, −1) = (0, −1).
3. Comme u + v = (3, 0), on obtient f(u + v) = f(3, 0) = (3, 0).
4. Or f(u) + f(v) = (3, 1) + (0, −1) = (3, 0) : l'addition est respectée.
5. Enfin, f(2u) = f(4, 2) = (6, 2), tandis que 2f(u) = 2(3, 1) = (6, 2) : la multiplication par le scalaire est respectée.
2. On calcule f(v) = f(1, −1) = (0, −1).
3. Comme u + v = (3, 0), on obtient f(u + v) = f(3, 0) = (3, 0).
4. Or f(u) + f(v) = (3, 1) + (0, −1) = (3, 0) : l'addition est respectée.
5. Enfin, f(2u) = f(4, 2) = (6, 2), tandis que 2f(u) = 2(3, 1) = (6, 2) : la multiplication par le scalaire est respectée.
Les deux contrôles retrouvent exactement les mêmes couples. Comme la formule f(x, y) = (x + y, y) donne ces identités pour des coordonnées quelconques, f est bien un endomorphisme du plan, et pas seulement une transformation qui fonctionne sur u et v.
En pratique
En calcul matriciel, reconnaître un endomorphisme autorise l'emploi d'une matrice carrée dans une base. Si l'espace de départ diffère de celui d'arrivée, on emploie plutôt le cadre plus général des applications linéaires.
Pour étudier des directions conservées, on cherche les vecteurs dont l'image reste colinéaire au vecteur initial. Le langage des valeurs propres devient pertinent ; si l'image change d'espace, cette recherche n'a plus ce sens sous cette forme.
Quand une transformation est répétée, le fait qu'elle revienne dans le même espace rend possibles les compositions f après f, puis leurs itérations. Si les types d'entrée et de sortie alternent, il faut d'abord vérifier que chaque composition est définie.
À ne pas confondre
Homomorphisme. Il préserve lui aussi une structure, mais peut relier deux objets différents. Une application linéaire du plan vers l'espace est un homomorphisme ; ce n'est pas un endomorphisme, car son codomaine n'est pas le plan.
Automorphisme. C'est un endomorphisme bijectif, donc réversible par un homomorphisme du même type. L'application f(x, y) = (x + y, y) est un automorphisme ; l'application qui envoie (x, y) sur (x, 0) est un endomorphisme non bijectif.
Application affine. Elle peut transformer un espace en lui-même sans être linéaire. La translation qui envoie (x, y) sur (x + 1, y) ne fixe pas le vecteur nul ; elle n'est donc pas un endomorphisme vectoriel.
Limites et pièges
Vérifier quelques vecteurs ne suffit pas. Des coïncidences sur u et v ne prouvent pas la linéarité. Il faut établir les deux identités pour tous les vecteurs et tous les scalaires, ou montrer que l'application est l'extension linéaire de valeurs fixées sur une base.
Le mot dépend de la structure. Une même fonction peut préserver une opération et pas une autre. Il faut annoncer l'objet structuré et les opérations exigées avant de conclure qu'il s'agit d'un endomorphisme.
Non commutative ne signifie pas jamais commutative. Deux endomorphismes particuliers peuvent commuter. De plus, si l'espace vectoriel est de dimension 0 ou 1, tous ses endomorphismes commutent ; l'algèbre End(E) n'est donc pas non commutative dans ces cas.
Une matrice carrée suppose une même base de référence. Changer de base modifie les coefficients, pas l'application abstraite. Pour comparer deux matrices, il faut contrôler les bases dans lesquelles elles représentent l'endomorphisme.
Pour aller plus loin
application linéaire — Pour replacer l'endomorphisme dans la famille plus large des transformations entre espaces vectoriels éventuellement différents.
valeur propre — Pour étudier les directions qu'un endomorphisme conserve tout en les multipliant par un scalaire.
homomorphisme de groupes — Pour voir concrètement comment une application préserve une loi, même lorsque les groupes de départ et d'arrivée diffèrent.
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