homomorphisme de groupes

Prenons les entiers et remplaçons chacun par son reste modulo 6. Ainsi, 8 devient 2 et 11 devient 5. Si l'on additionne d'abord 8 et 11, on obtient 19, donc le reste 1. Si l'on transforme d'abord les deux nombres, 2 + 5 donne encore le reste 1.

Cette application est un homomorphisme : elle change la représentation des objets, mais respecte leur manière de se combiner. Plusieurs entiers peuvent avoir la même image ; leurs différences multiples de 6 décrivent précisément l'information perdue.

Soient un groupe G muni d'une loi notée · et un groupe G' muni d'une loi notée ·'. Une application f de G vers G' est un homomorphisme de groupes lorsqu'elle est compatible avec ces lois. Pour tous éléments x et y de G, cette condition s'écrit :

Cette seule condition force la préservation des éléments structuraux. Si e et e' sont les éléments neutres respectifs de G et G', alors f(e) = e'. Pour tout élément x de G, l'image de son inverse vérifie f(x⁻¹) = f(x)⁻¹. Dans un groupe non commutatif, l'ordre des facteurs reste essentiel : la règle conserve x · y dans cet ordre.

Le noyau est l'ensemble des éléments de G envoyés sur e'. Il forme toujours un sous-groupe distingué de G. L'image est l'ensemble des valeurs effectivement atteintes par f ; elle forme un sous-groupe de G'. L'homomorphisme est injectif exactement lorsque son noyau ne contient que e. Il est surjectif exactement lorsque son image est tout G'.

Considérons le groupe des entiers avec l'addition et le groupe des classes de restes modulo 6, muni de l'addition. L'application f associe à chaque entier sa classe modulo 6. Un schéma de compatibilité montre que les deux chemins, additionner puis appliquer f ou appliquer f puis additionner, aboutissent à la même classe.

Données.
Premier entier : 8.
Second entier : 11.
Module : 6.
Application : f(n) est la classe du reste de n modulo 6.

Étape 1. Additionnons dans les entiers : 8 + 11 = 19. Le reste de 19 dans la division par 6 vaut 1, donc f(19) est la classe de 1.

Étape 2. Appliquons d'abord f. Le nombre 8 a pour reste 2 et le nombre 11 a pour reste 5. Dans les classes modulo 6, la somme des classes de 2 et de 5 est la classe de 7, égale à celle de 1.

Étape 3. Les deux chemins donnent ainsi la même valeur :

Contrôle. Les entiers envoyés sur la classe de 0 sont exactement les multiples de 6 : le noyau est donc 6ℤ. Toutes les classes de 0 à 5 sont atteintes, donc l'image est le groupe d'arrivée entier.

Pour vérifier qu'une application entre deux groupes est un homomorphisme, on compare l'image d'un produit avec le produit des images pour des éléments quelconques. Une égalité observée sur quelques exemples ne suffit pas ; il faut une démonstration valable pour tous les éléments.

Pour décider si l'application perd de l'information, on calcule son noyau. Si seul l'élément neutre y figure, l'application est injective. Sinon, deux éléments distincts peuvent avoir la même image ; il faut alors étudier les classes déterminées par le noyau.

Pour savoir quels résultats sont accessibles dans le groupe d'arrivée, on détermine l'image. Si elle n'est pas tout le groupe d'arrivée, il faut travailler dans ce sous-groupe image plutôt que supposer la surjectivité.

Homomorphisme et application quelconque. Une application peut associer des éléments sans respecter la loi. Le test décisif est l'égalité entre l'image du produit et le produit des images. Par exemple, l'application n ↦ n + 1 sur les entiers n'est pas un homomorphisme additif, car l'image de 0 n'est pas 0.

Homomorphisme et isomorphisme. Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif. L'application qui prend le reste modulo 6 est surjective, mais pas injective puisque 0 et 6 ont la même image ; ce n'est donc pas un isomorphisme.

Noyau et image. Le noyau se trouve dans le groupe de départ et ne retient que les éléments envoyés sur le neutre. L'image se trouve dans le groupe d'arrivée et rassemble toutes les valeurs atteintes. Pour la réduction modulo 6, ce sont respectivement 6ℤ et les six classes de restes.

Le cas constant n'est pas automatiquement exclu. L'application qui envoie tout élément de G sur l'élément neutre de G' respecte toujours la loi. Son image est réduite à ce neutre et son noyau est tout G. Il faut la reconnaître comme l'homomorphisme trivial.

Préserver la loi ne signifie pas être bijectif. Un noyau non trivial signale un défaut d'injectivité, tandis qu'une image plus petite que G' signale un défaut de surjectivité. Il faut contrôler séparément ces deux ensembles.

L'ordre ne peut pas être inversé. Dans un groupe non commutatif, f(x · y) vaut f(x) ·' f(y), et non en général f(y) ·' f(x). Il faut conserver l'ordre donné par la loi.

Les lois doivent être identifiées. Une même application peut respecter une opération et pas une autre. Avant tout calcul, il faut nommer la loi du groupe de départ et celle du groupe d'arrivée.

Le groupe quotient formalise le regroupement des éléments qui deviennent indiscernables par un homomorphisme, comme les entiers ayant le même reste modulo 6.

Un isomorphisme de groupe est le cas où l'homomorphisme établit une correspondance bijective et permet de considérer deux groupes comme structurellement identiques.

La notion de sous-groupe distingué précise la propriété du noyau qui autorise la construction d'un groupe quotient.