AlgèbreThéorème · Glossaire
Isomorphisme (théorème d')
Le théorème d'isomorphisme (ou premier théorème d'isomorphisme) est un résultat fondamental d'algèbre. Pour les groupes, il affirme que si f : G -> H est un homomorphisme de groupes, alors le groupe quotient G/Ker(f) est isomorphe à l'image Im(f) de f. Des versions analogues existent pour les anneaux, les modules et les espaces vectoriels. Ce théorème relie la structure du groupe quotient à celle de l'image et est l'outil principal pour analyser les homomorphismes et la structure des groupes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le noyau, l’image et le quotient qui interviennent dans le premier théorème.
- Appliquer l’énoncé à la réduction des entiers modulo 6 et contrôler le résultat.
- Distinguer l’image du codomaine et reconnaître les cas où la surjectivité manque.
- Repérer les versions analogues pour les anneaux, les modules et les espaces vectoriels.
En clair
Prenons les entiers et remplaçons chacun par son reste après division par 6. Les nombres 1, 7 et −5 deviennent indiscernables, car ils donnent tous le reste 1. Les multiples de 6, eux, deviennent 0.
Le premier théorème d’isomorphisme dit que regrouper ainsi les entrées qui donnent le même résultat ne perd aucune autre information sur les sorties. Le groupe formé par ces paquets a exactement la même structure que l’ensemble des résultats atteints : ils sont isomorphes, à un simple changement de noms près.
Définition
Soient deux groupes, notés G et H, et un homomorphisme de groupes f de G vers H. Le noyau de f est l’ensemble des éléments de G envoyés sur l’élément neutre de H. Il s’agit d’un sous-groupe normal de G. L’image de f est le sous-groupe de H constitué des valeurs réellement atteintes.
Le premier théorème d’isomorphisme identifie le quotient de G par ce noyau à l’image de f : . Plus précisément, la classe d’un élément x de G est envoyée sur f(x). L’application induite est bien définie, car deux éléments x et y ont la même image exactement lorsque . Elle est un homomorphisme injectif dont l’ensemble d’arrivée est exactement Im(f).
Des énoncés analogues valent pour les homomorphismes d’anneaux et de modules ainsi que pour les applications linéaires entre espaces vectoriels. Dans chaque cas, on quotient la structure de départ par son noyau et l’on obtient une structure isomorphe à l’image.
Le principe
Soient G et H deux groupes, et soit f un homomorphisme de G vers H. Alors le noyau de f est un sous-groupe normal de G, et l’application qui associe à la classe de x modulo ce noyau l’élément f(x) est un isomorphisme de groupes. Sa conclusion s’écrit : . L’isomorphisme obtenu vise l’image de f, et non nécessairement tout le groupe H.
Quand l'utiliser
Dans le cadre présenté ici, le domaine et le codomaine sont des groupes, et l’application f doit respecter leur loi de groupe. Le quotient se fait par le noyau exact de f, qui est automatiquement normal. La conclusion porte toujours sur les valeurs atteintes ; elle porte sur tout le codomaine seulement lorsque f est surjective.
Par exemple, l’application qui envoie un entier n sur n2 n’est pas un homomorphisme du groupe additif des entiers vers lui-même : l’image de 1 + 1 vaut 4, tandis que la somme des images vaut 2. Le théorème ne s’applique donc pas. Il faut d’abord vérifier la compatibilité avec l’opération, puis employer un autre raisonnement si elle échoue.
Un exemple, pas à pas
On étudie l’application f qui associe à chaque entier son reste modulo 6. Elle part du groupe additif ℤ et arrive dans le groupe additif ℤ/6ℤ.
Données.
Le groupe de départ est ℤ.
Le groupe d’arrivée contient les six classes [0]6, [1]6, [2]6, [3]6, [4]6 et [5]6.
L’application est définie par f(n) = [n]6.
L’élément neutre à l’arrivée est [0]6.
Le groupe de départ est ℤ.
Le groupe d’arrivée contient les six classes [0]6, [1]6, [2]6, [3]6, [4]6 et [5]6.
L’application est définie par f(n) = [n]6.
L’élément neutre à l’arrivée est [0]6.
1. Calcul du noyau. Un entier est envoyé sur [0]6 exactement lorsqu’il est multiple de 6. Le noyau est donc le sous-groupe 6ℤ.
2. Calcul de l’image. Les entiers 0, 1, 2, 3, 4 et 5 atteignent respectivement les six classes. L’image est donc tout ℤ/6ℤ.
3. Passage au quotient. Dans ℤ/6ℤ, deux entiers sont regroupés lorsqu’ils diffèrent d’un multiple de 6. L’application induite envoie chaque paquet sur son reste : . Le schéma associé rend visible cette correspondance entre six classes et six valeurs atteintes.
On obtient ainsi . Pour contrôler le résultat, 7 et 1 appartiennent à la même classe et ont bien la même image [1]6, tandis que les six représentants de 0 à 5 donnent six images distinctes.
En pratique
Pour déterminer l’image d’un homomorphisme, on calcule souvent d’abord son noyau. Si les éléments annulés se décrivent simplement, le quotient révèle la structure de l’image. Lorsque le codomaine est fini et très petit, énumérer directement les valeurs peut être plus rapide.
Pour reconnaître un quotient comme un groupe familier, on construit un homomorphisme dont le noyau est précisément le sous-groupe par lequel on quotient. Si aucun homomorphisme naturel n’apparaît, il faut plutôt définir une bijection explicite et vérifier qu’elle respecte l’opération.
En algèbre linéaire, une application linéaire donne de même un isomorphisme entre l’espace de départ quotienté par son noyau et son image. Pour obtenir seulement des dimensions dans un espace de dimension finie, la formule du rang est généralement l’outil le plus direct.
À ne pas confondre
Le théorème d’isomorphisme et un isomorphisme. Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif ; le théorème est le résultat qui en construit un après quotient par un noyau. La réduction de ℤ modulo 6 n’est pas injective, mais l’application induite ℤ/6ℤ → Im(f), ici ℤ/6ℤ → ℤ/6ℤ, est un isomorphisme.
L’image et le codomaine. L’image contient seulement les valeurs effectivement atteintes, tandis que le codomaine est l’ensemble d’arrivée déclaré. Pour l’inclusion du groupe additif 2ℤ dans ℤ, l’image est 2ℤ, pas tout ℤ. Les deux coïncident exactement en cas de surjectivité.
Un quotient et un sous-groupe. Les éléments d’un groupe quotient sont des classes, et non des éléments sélectionnés dans le groupe initial. Ainsi, ℤ/6ℤ n’est pas un sous-groupe de ℤ : ses éléments regroupent les entiers ayant le même reste modulo 6.
Limites et pièges
Noyau réduit à l’élément neutre. Le quotient est alors isomorphe à G et f est injective. Cela ne prouve pas que f atteint tout H. Il faut encore comparer l’image au codomaine avant de conclure que f est un isomorphisme de G vers H.
Noyau égal à tout G. Toutes les entrées ont la même image, l’élément neutre. Le quotient et l’image sont tous deux le groupe trivial à un élément. Il ne faut donc pas chercher une correspondance avec les autres éléments éventuels de H.
Homomorphisme non surjectif. Le signe d’alerte est la présence d’éléments de H qui ne sont jamais atteints. La conclusion correcte reste alors G/Ker(f) isomorphe à Im(f) ; remplacer Im(f) par H serait faux.
Sous-groupe choisi au hasard. Pour l’application induite par f, le quotient doit utiliser exactement Ker(f). Avec un autre sous-groupe normal N, la règle qui enverrait la classe de x sur f(x) peut dépendre du représentant. Il faut vérifier que N est contenu dans le noyau, et l’isomorphisme du premier théorème n’apparaît qu’après quotient par le noyau entier.
Pour aller plus loin
homomorphisme de groupes — Pour vérifier précisément la condition de compatibilité avec la loi de groupe avant d’appliquer le théorème.
Groupe quotient — Pour approfondir les classes, la normalité du sous-groupe et l’opération définie sur le quotient.
Isomorphisme de groupe — Pour préciser ce que signifie avoir la même structure de groupe malgré des éléments nommés différemment.
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