Morphisme d'anneaux

Prenez un entier et ne gardez que son reste dans la division par 6. Ainsi, 8 devient la classe 2 et 13 devient la classe 1. Additionner ou multiplier avant cette réduction donne le même résultat que réduire d'abord chaque entier, puis effectuer l'opération.

Cette application est un morphisme d'anneaux : elle transporte les calculs d'un anneau vers un autre sans déformer leurs deux opérations. Certains éléments deviennent cependant indiscernables ; ici, tous les multiples de 6 sont envoyés sur la classe zéro.

Soient A et B deux anneaux et f une application de A vers B. Pour deux éléments quelconques a et b de A, l'application f est un morphisme d'anneaux lorsqu'elle préserve l'addition et la multiplication. Avec la convention usuelle des anneaux unitaires et des morphismes unitaires, elle préserve aussi l'élément unité :

L'image de f est l'ensemble des valeurs f(a) obtenues quand a parcourt A ; c'est un sous-anneau de B. Le noyau de f est l'ensemble des éléments a tels que f(a) = 0_B ; c'est un idéal bilatère de A, donc stable par addition, opposé et multiplication à gauche comme à droite par les éléments de A.

Un morphisme est injectif exactement lorsque son noyau se réduit à 0_A. Il est surjectif lorsque son image est tout B. S'il est bijectif, c'est un isomorphisme d'anneaux : A et B ont alors la même structure d'anneau, à un changement de noms des éléments près.

Considérons l'application f de ℤ vers ℤ/6ℤ qui associe à chaque entier n sa classe [n]₆ modulo 6. Nous testons f sur les entiers 8 et 5. Le schéma réunit les images utiles et montre pourquoi les multiples de 6 forment le noyau.

Données :
f(n) = [n]₆ ;
a = 8 et b = 5 ;
a + b = 13 ;
ab = 40.

1. Pour l'addition, f(13) = [1]₆. D'autre part, f(8) + f(5) = [2]₆ + [5]₆ = [1]₆.

2. Pour la multiplication, f(40) = [4]₆. D'autre part, f(8)f(5) = [2]₆[5]₆ = [4]₆. Enfin, f(1) = [1]₆, l'unité de ℤ/6ℤ.

Le même raisonnement vaut pour tous les entiers, car le reste d'une somme ou d'un produit dépend seulement des restes des termes. Toutes les six classes sont atteintes, donc l'image est ℤ/6ℤ. La classe [n]₆ vaut [0]₆ exactement lorsque n est multiple de 6 : le noyau est 6ℤ. Comme 0 et 6 ont la même image, f n'est pas injective.

En calcul modulaire, la projection de ℤ vers ℤ/6ℤ autorise à réduire les entiers avant une addition ou une multiplication. On la préfère au calcul dans ℤ lorsque seul le reste modulo 6 importe ; si la valeur entière doit être conservée, cette projection perd trop d'information.

Pour savoir ce qu'une application algébrique confond, on calcule son noyau. Un noyau réduit à zéro garantit qu'aucun couple d'éléments distincts n'a la même image ; un noyau plus grand décrit précisément les différences qui disparaissent.

Pour comparer deux anneaux, un morphisme bijectif établit un isomorphisme et permet de transporter les calculs dans les deux sens. Si le morphisme n'est pas bijectif, il faut se limiter à son image et tenir compte des éléments identifiés par le noyau.

Un morphisme des groupes additifs ne doit préserver que l'addition. L'application de ℤ vers ℤ qui envoie n sur 2n est additive, mais elle n'est pas un morphisme d'anneaux unitaire : elle envoie 1 sur 2 et ne préserve pas la multiplication.

Un isomorphisme d'anneaux est un morphisme bijectif, pas un simple morphisme. La projection de ℤ vers ℤ/6ℤ atteint bien tout son codomaine, mais 0 et 6 ont la même image ; elle est surjective sans être un isomorphisme.

Convention sur l'unité. Certains textes appellent morphisme d'anneaux une application qui préserve seulement l'addition et la multiplication. Avant d'utiliser f(1_A) = 1_B, il faut donc vérifier que les anneaux et les morphismes sont dits unitaires.

Anneaux non commutatifs. Dans ce cadre, le noyau doit être stable par multiplication à gauche et à droite : c'est un idéal bilatère. Vérifier un seul côté ne suffit pas pour former le quotient d'anneau attendu.

Image et codomaine. L'image est toujours contenue dans B, mais elle ne vaut B que si f est surjective. Pour le constater, il faut chercher si chaque élément du codomaine possède un antécédent ; quelques valeurs atteintes ne suffisent pas.

Contrôle sur quelques nombres. Les égalités vérifiées pour 8 et 5 illustrent le mécanisme, mais ne prouvent pas seules qu'une application arbitraire est un morphisme. La preuve doit porter sur deux éléments quelconques de l'anneau et sur l'unité lorsque la convention l'exige.

La fiche anneau quotient montre comment un idéal, tel que le noyau 6ℤ, sert à regrouper les éléments devenus indiscernables.

La fiche Isomorphisme (théorème d') approfondit le lien entre noyau, image et quotient associé à un morphisme.