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épimorphisme de groupes
Un épimorphisme de groupes est un homomorphisme de groupes qui est surjectif, c'est-à-dire que tout élément du groupe d'arrivée est l'image d'au moins un élément du groupe de départ. Dans cette fiche, le terme désigne ce type d'homomorphisme surjectif. Un tel morphisme est aussi un épimorphisme au sens de la théorie des catégories, propriété définie par la composition, mais, dans certaines autres catégories, un épimorphisme catégorique n'est pas nécessairement surjectif.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux conditions d'un épimorphisme de groupes.
- Vérifier la surjectivité sur la réduction des entiers modulo 3.
- Relier le noyau au groupe quotient.
- Distinguer l'épimorphisme de groupes de l'épimorphisme dans une catégorie générale.
En clair
Imaginez que chaque entier soit rangé selon son reste après une division par 3 : reste 0, 1 ou 2. Chaque classe reçoit des entiers, et aucune ne reste vide.
L'application qui effectue ce rangement est un épimorphisme de groupes si elle respecte aussi l'opération : additionner avant le classement revient à additionner les classes obtenues. L'idée décisive est donc double : conserver la structure du groupe et atteindre tous les éléments du groupe d'arrivée.
Définition
Soient un groupe de départ G, un groupe d'arrivée H et une application f de G vers H. L'application f est un homomorphisme lorsqu'elle respecte la loi de groupe : pour tous éléments x et y de G, . Elle est surjective lorsque chaque élément h de H possède au moins un antécédent x dans G, ce qui s'écrit . Un épimorphisme de groupes réunit ces deux propriétés.
Son image est donc H tout entier. Son noyau, formé des éléments envoyés sur l'élément neutre de H, peut en revanche contenir plusieurs éléments : un épimorphisme n'est pas nécessairement injectif. Le premier théorème d'isomorphisme relie les deux groupes : le quotient de G par le noyau de f est isomorphe à H.
Dans la catégorie des groupes, cette définition coïncide avec la notion catégorique d'épimorphisme : si deux homomorphismes définis sur H deviennent égaux après composition avec f, ils sont déjà égaux. Cette coïncidence avec la surjectivité dépend toutefois de la catégorie considérée.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'application r qui associe à chaque entier sa classe modulo 3. Le groupe de départ est le groupe ℤ des entiers muni de l'addition. Le groupe d'arrivée est ℤ/3ℤ, composé des trois classes 0̅, 1̅ et 2̅, avec l'addition modulo 3.
1. Prenons deux entiers a et b. La classe de leur somme est la somme de leurs classes : . L'application r est donc un homomorphisme.
2. La classe 0̅ est atteinte par 0, la classe 1̅ par 1 et la classe 2̅ par 2. Les trois éléments du groupe d'arrivée ont un antécédent.
3. L'application r est ainsi surjective : c'est un épimorphisme de groupes.
4. Les entiers envoyés sur 0̅ sont exactement les multiples de 3. Le noyau de r est donc 3ℤ.
2. La classe 0̅ est atteinte par 0, la classe 1̅ par 1 et la classe 2̅ par 2. Les trois éléments du groupe d'arrivée ont un antécédent.
3. L'application r est ainsi surjective : c'est un épimorphisme de groupes.
4. Les entiers envoyés sur 0̅ sont exactement les multiples de 3. Le noyau de r est donc 3ℤ.
Le contrôle se refait sur n'importe quel entier : son reste après division euclidienne par 3 est 0, 1 ou 2, donc sa classe est bien l'un des trois éléments annoncés. Par exemple, 5 est envoyé sur 2̅ et −4 aussi, puisque ces deux entiers ont le même reste modulo 3.
En pratique
Pour construire un groupe quotient, on utilise la projection canonique qui envoie chaque élément sur sa classe. Cette application est automatiquement surjective. Elle est préférable à une simple application d'ensembles lorsque l'on doit aussi conserver la loi de groupe.
Pour décrire un groupe d'arrivée, un épimorphisme permet de le présenter comme un quotient du groupe de départ par un noyau. Dans l'exemple modulo 3, ℤ/3ℤ est obtenu en identifiant les entiers dont la différence est un multiple de 3.
Pour prouver la surjectivité, on peut donner un antécédent à chaque élément, comme 0, 1 et 2 pour les trois classes modulo 3. Lorsque le groupe d'arrivée est engendré par quelques éléments, il suffit aussi de montrer que chacun de ces générateurs appartient à l'image.
À ne pas confondre
Surjection d'ensembles. Elle exige seulement que chaque élément d'arrivée ait un antécédent. Un épimorphisme de groupes doit en plus respecter la loi. Par exemple, l'application de ℤ vers ℤ qui envoie tout entier n sur n + 1 est bijective comme application d'ensembles, mais elle ne respecte pas l'addition.
Isomorphisme de groupes. Il est à la fois surjectif et injectif, tandis qu'un épimorphisme peut identifier plusieurs éléments. La réduction modulo 3 tranche nettement : 2 et 5 ont la même image 2̅, donc cet épimorphisme n'est pas un isomorphisme.
Limites et pièges
Le mot dépend de la catégorie. Dans la catégorie des groupes, tout épimorphisme catégorique est surjectif. Cette réciproque échoue ailleurs : dans la catégorie des anneaux commutatifs unitaires, l'inclusion de ℤ dans ℚ est un épimorphisme catégorique sans être surjective. Il faut donc préciser la catégorie avant de traduire « épimorphisme » par « surjection ».
Un noyau non trivial n'est pas un défaut. La réduction modulo 3 est surjective alors que tous les multiples de 3 appartiennent à son noyau. Pour conclure à un isomorphisme, il faut vérifier séparément que le noyau est réduit à l'élément neutre.
Tester quelques images ne suffit pas toujours. Atteindre 0̅ et 1̅ dans ℤ/3ℤ suffit parce que 1̅ engendre tout le groupe, mais une liste arbitraire d'éléments atteints ne prouve rien. Il faut atteindre chaque élément ou un ensemble dont on sait qu'il engendre le groupe d'arrivée.
Le groupe trivial est un cas légitime. L'unique homomorphisme d'un groupe G vers le groupe réduit à son élément neutre est surjectif. Il s'agit donc d'un épimorphisme, même s'il efface toute distinction entre les éléments de G.
Pour aller plus loin
Le groupe quotient approfondit la construction qui identifie les éléments ayant la même image et éclaire le rôle du noyau.
La théorie des catégories replace l'épimorphisme dans son cadre abstrait, où il se définit par une propriété de composition plutôt que par les éléments.
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