Logique et ensemblesNotion · Glossaire
théorie des catégories
Dans le cadre localement petit retenu ici, une catégorie est constituée d’une classe d’objets, d’ensembles de morphismes entre chaque paire d’objets, d’un morphisme identité pour chaque objet et d’une composition des morphismes dont la cible du premier est la source du second. Cette composition est associative et les identités sont neutres ; la théorie des catégories étudie ainsi les objets à travers les transformations qui les relient afin de dégager leurs structures communes.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les objets, les morphismes et les identités d'une catégorie.
- Déterminer quand deux morphismes sont composables et dans quel ordre les lire.
- Vérifier sur le trajet A → B → C la neutralité et l'associativité.
- Distinguer une catégorie d'un classement et un morphisme d'une transformation arbitraire.
En clair
Imaginez trois stations A, B et C reliées par des trajets autorisés. La théorie des catégories s'intéresse moins à l'intérieur des stations qu'aux trajets qui les relient. Si un trajet va de A à B puis un autre de B à C, ils forment un trajet composé de A à C.
Chaque station possède aussi un trajet immobile, appelé identité. Cette image résume le geste central : étudier des objets par leurs transformations et par la manière cohérente dont celles-ci s'enchaînent.
Définition
Dans le cadre localement petit retenu ici, une catégorie, notée ici C, rassemble une classe d'objets et des flèches appelées morphismes. Pour deux objets A et B, l'ensemble Hom(A, B) réunit exactement les morphismes dont la source est A et la cible B. Pour chaque objet A, il existe un morphisme identité, noté IdA, de A vers lui-même.
Deux morphismes se composent lorsque la cible du premier est la source du second. Si f va de A vers B et g de B vers C, leur composé g ∘ f va de A vers C. Pour trois morphismes successifs f, g et h, l'ordre des parenthèses ne change pas le résultat : . Les identités sont neutres : .
Les objets et les morphismes changent selon la catégorie étudiée, mais ces deux lois restent les mêmes. La convention qui rend disjoints les ensembles Hom(A, B) pour des couples distincts sert à conserver sans ambiguïté la source et la cible ; elle n'est pas un axiome essentiel dans toutes les présentations modernes.
Un exemple, pas à pas
Considérons trois objets A, B et C. On dispose d'un morphisme f de A vers B, d'un morphisme g de B vers C et des identités IdA, IdB et IdC. Le diagramme associé rend visible le chemin direct obtenu par composition.
1. La cible de f est B, qui est aussi la source de g. Les deux morphismes sont donc composables.
2. Leur composé est un morphisme de A vers C : .
3. L'identité de B ne modifie pas f, et celle de C ne modifie pas g : .
4. Pour contrôler l'associativité avec l'identité de C, les deux parenthésages donnent le même morphisme : . La source A et la cible C fournissent un contrôle immédiat du résultat.
En pratique
Pour décrire une structure, on commence par nommer ses objets, puis les transformations admises entre eux. Cette approche convient lorsque les relations et leur composition comptent davantage que le détail interne de chaque objet.
Pour vérifier un enchaînement, on compare la cible de la première flèche à la source de la suivante. Si elles coïncident, la composition est définie ; sinon, il faut changer l'ordre ou choisir un autre morphisme.
Pour comparer deux catégories, un foncteur transporte objets et morphismes tout en respectant identités et compositions. Si le problème porte plutôt sur les éléments internes d'un seul objet, un calcul direct dans cette structure sera souvent plus informatif.
À ne pas confondre
Catégorie mathématique et classement. Un classement range des éléments selon un critère. Une catégorie mathématique exige des morphismes, des identités et une composition associative. Une simple liste de nombres pairs et impairs n'est donc pas, à elle seule, une catégorie au sens mathématique.
Morphisme et transformation arbitraire. Un morphisme de A vers B doit appartenir à l'ensemble Hom(A, B) fixé par la catégorie. Dans une catégorie d'objets structurés, il doit en outre préserver la structure selon la définition des morphismes de cette catégorie.
Catégorie et foncteur. Une catégorie fournit objets, morphismes et composition. Un foncteur agit entre deux catégories et respecte leur organisation. Dans l'exemple A → B → C, les flèches sont des morphismes internes, pas un foncteur à elles seules.
Limites et pièges
Composition impossible. Si f va de A vers B et g de C vers D avec B différent de C, l'écriture g ∘ f n'est pas définie. Le symptôme est une cible qui ne rejoint pas la source suivante ; il faut vérifier les extrémités avant de composer.
Ordre de lecture. Dans g ∘ f, le morphisme f est appliqué avant g. Lire les symboles de gauche à droite inverse le trajet ; il faut suivre successivement A → B puis B → C.
Flèche non réversible. Les axiomes garantissent une identité, mais pas un morphisme inverse pour chaque flèche. On ne peut remonter de B vers A depuis la seule existence de f : A → B ; un inverse doit être établi séparément.
Convention de disjonction. Des présentations rendent les ensembles Hom(A, B) disjoints afin que chaque morphisme porte sans ambiguïté sa source et sa cible. Si cette convention n'est pas adoptée, on conserve ces deux informations explicitement au lieu d'en faire un axiome supplémentaire.
Pour aller plus loin
foncteur — Pour voir comment transporter objets, morphismes, identités et compositions d'une catégorie vers une autre.
morphisme - catégorie - — Pour approfondir le statut des flèches qui relient les objets d'une catégorie.
composition de fonctions — Pour retrouver, dans un cadre familier, l'ordre et la compatibilité nécessaires à une composition.
La théorie des catégories, un « abstract nonsense » ? — Pour prolonger la notion par un article consacré à son pouvoir d'abstraction.
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