AnalyseNotion · Glossaire
Flèche
En théorie des catégories, une flèche (ou morphisme) est une donnée ayant un objet source et un objet cible. Dans une catégorie abstraite, elle n'est pas nécessairement une fonction entre des éléments. Les flèches sont composables de manière associative et chaque objet possède une flèche identité. Dans une catégorie concrète, les flèches sont des fonctions structurées (homomorphismes, fonctions continues, etc.). La notion de flèche est centrale : la théorie des catégories est parfois décrite comme l'étude des structures mathématiques via leurs morphismes plutôt que leurs éléments.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une flèche catégorique d'une fonction ordinaire.
- Composer deux flèches dans le bon ordre.
- Reconnaître le rôle de l'identité et de l'associativité.
- Vérifier une composition sur un exemple entre ensembles.
En clair
Imaginez trois boîtes d'objets. Une flèche indique une transformation autorisée entre deux boîtes : elle part d'un objet de départ et arrive à un objet d'arrivée. Si une première flèche mène de la boîte A à la boîte B, puis une seconde de B à C, leur enchaînement donne une flèche directe de A à C.
Le mot « flèche » insiste sur ce trajet orienté. Le mot « morphisme » désigne la même idée. Une flèche identité est le trajet neutre qui laisse un objet inchangé.
Définition
Dans une catégorie, une flèche, ou morphisme, possède une source A et une cible B. On la note . Dans une catégorie abstraite, une flèche est une donnée primitive : elle n'est pas nécessairement une fonction entre les éléments de A et de B. Dans une catégorie concrète, elle est une fonction qui préserve la structure considérée, par exemple un homomorphisme entre groupes ou une fonction continue entre espaces topologiques.
Si la cible de la flèche f est la source d'une flèche g, leur composée est une flèche notée : f agit d'abord, puis g. Pour trois flèches composables f, g et h, la composition est associative :
Chaque objet A possède une flèche identité, notée . Pour toute flèche f de A vers B, les identités sont neutres :
Ces lois de composition et d'identité définissent le cadre catégorique. Elles permettent d'étudier les structures par leurs relations, sans devoir partir de leurs éléments.
Un exemple, pas à pas
Prenons la catégorie des ensembles. Les données sont A = {1, 2, 3}, B = {a, b} et C = {0, 1}. La fonction f va de A vers B : elle envoie 1 et 2 sur a, puis 3 sur b. La fonction g va de B vers C : elle envoie a sur 0 et b sur 1.
1. Appliquez f à 1 : le résultat est a. Appliquez ensuite g à a : le résultat est 0. La composée g ∘ f envoie donc 1 sur 0.
2. Le même enchaînement partant de 2 passe par a et arrive à 0. La composée g ∘ f envoie donc 2 sur 0.
3. En partant de 3, la fonction f donne b, puis g donne 1. La composée g ∘ f envoie donc 3 sur 1. Le diagramme représente la flèche directe de A vers C et les deux étapes.
La fonction obtenue associe à 1 la valeur 0, à 2 la valeur 0 et à 3 la valeur 1. Pour contrôler le résultat, suivez f puis g pour chaque élément : les arrivées sont 0, 0 et 1.
En pratique
En algèbre, on représente par des flèches les transformations qui conservent les opérations. Pour comparer deux groupes, on choisit un homomorphisme plutôt qu'une fonction quelconque dès que la loi de groupe doit être préservée.
En topologie, les objets sont des espaces et les flèches usuelles sont les fonctions continues. Une fonction quelconque ne convient pas si l'on veut transporter l'information topologique sans rupture de continuité.
Dans un diagramme, suivre un chemin de flèches revient à les composer. On privilégie ce point de vue lorsque le résultat d'un trajet doit être comparé à celui d'un autre trajet entre les mêmes objets ; un calcul élément par élément reste préférable si les valeurs individuelles sont précisément recherchées.
À ne pas confondre
Flèche catégorique et arête orientée d'un graphe. Une catégorie impose des identités et une composition associative. Un graphe orienté fournit seulement des sommets et des arêtes ; deux arêtes consécutives n'y déterminent pas forcément une troisième arête.
Flèche et fonction. Dans la catégorie des ensembles, toute flèche est une fonction. Dans une catégorie abstraite, demander la valeur de la flèche sur un élément peut ne rien signifier : il faut alors raisonner avec sa source, sa cible et ses compositions.
Flèche et foncteur. Une flèche relie deux objets d'une même catégorie. Un foncteur relie deux catégories en envoyant leurs objets et leurs flèches vers d'autres, tout en préservant identités et composition.
Limites et pièges
Flèches non composables. Si f arrive en B mais que g part d'un objet différent de B, l'écriture g ∘ f n'est pas définie. Le défaut se voit en comparant la cible de f et la source de g ; il faut choisir un trajet dont les extrémités coïncident.
Flèche non unique. Entre deux objets, il peut n'exister aucune flèche, une seule ou plusieurs. Un dessin comportant une flèche ne prouve donc jamais son unicité ; il faut préciser le morphisme choisi ou établir cette unicité.
Ordre de la composition. Dans g ∘ f, la flèche f agit avant g, même si g est écrite à gauche. Une inversion produit souvent une expression non définie ; le bon contrôle consiste à suivre successivement les sources et les cibles.
Identité locale à un objet. Chaque objet A possède sa propre identité de A vers A. Écrire une identité sans préciser l'objet masque son domaine ; il faut conserver l'indice dès que plusieurs objets interviennent.
Pour aller plus loin
La fiche catégorie replace objets, flèches, identités et composition dans la structure complète qui les réunit.
La fiche foncteur montre comment transporter simultanément les objets et les flèches d'une catégorie vers une autre.
L'article La théorie des catégories, un « abstract nonsense » ? présente la portée de ce langage et son changement de point de vue.
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