foncteur

Imaginez deux schémas faits de boîtes et de flèches. Une règle transporte chaque boîte du premier schéma vers une boîte du second, puis chaque flèche vers une nouvelle flèche. Cette règle devient un foncteur si elle conserve les départs, les arrivées et les enchaînements.

Ainsi, suivre deux flèches avant le transport donne le même résultat que transporter les deux flèches puis les suivre. Une flèche qui ne fait rien reste aussi une flèche qui ne fait rien. Le foncteur traduit donc tout un réseau de relations, pas seulement une liste d'objets.

Soient C et D deux catégories. Un foncteur covariant F de C vers D associe à chaque objet A de C un objet noté F(A) dans D. À chaque morphisme f allant de A vers B dans C, il associe un morphisme F(f) allant de F(A) vers F(B) dans D. Les sources et les buts restent donc compatibles.

Deux conditions font de cette double association un foncteur. Si Id_A désigne le morphisme identité de l'objet A, alors $F({\mathrm{Id}}_A)={\mathrm{Id}}_{F(A)}F(\backslash operatorname\{Id\}\_A)=\backslash operatorname\{Id\}\_\{F(A)\}$. Si f va de A vers B et g de B vers E, leur composée g ∘ f est aussi préservée : $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)F(g\backslash circ\; f)=F(g)\backslash circ\; F(f)$. Ces égalités garantissent que le transport ne modifie ni l'action neutre ni l'ordre d'un enchaînement.

Un foncteur contravariant associe au même morphisme f allant de A vers B un morphisme F(f) allant de F(B) vers F(A). Il inverse donc le sens des flèches et l'ordre de leur composition. On peut aussi le décrire comme un foncteur covariant défini sur la catégorie opposée de C. Covariants ou contravariants, les foncteurs servent à relier des catégories tout en conservant leur organisation par identités et compositions.

Prenons A = {1, 2}, B = {a, b} et E = {x, y}. La fonction f envoie 1 sur a et 2 sur b ; la fonction g envoie a et b sur x. Pour un ensemble X, P(X) désigne l'ensemble de ses sous-ensembles. Sur une fonction, P prend l'image directe de chaque sous-ensemble.

1. Sur les objets, P(A) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. Les ensembles P(B) et P(E) contiennent eux aussi quatre sous-ensembles.

2. Partons du sous-ensemble {2} de A. Son image par P(f) est {b}, puis l'image de {b} par P(g) est {x}. Le schéma montre ce même trajet dans les deux catégories.

3. La composée g ∘ f envoie directement 2 sur x. Ainsi, P(g ∘ f)({2}) = {x} et P(g)(P(f)({2})) = {x}. Plus généralement, pour tout sous-ensemble S de A, prendre l'image par f puis par g revient exactement à prendre l'image par g ∘ f.

4. Appliquons l'identité de A à un sous-ensemble quelconque S. Chaque élément reste en place, donc l'image est encore S. P transforme ainsi l'identité de A en celle de P(A). Valables pour tout S et toutes fonctions composables, les deux arguments établissent que P est un foncteur covariant.

Pour vérifier qu'une construction est fonctorielle, notez ce qu'elle fait aux objets et aux morphismes, puis contrôlez la loi d'identité pour tout objet et la loi de composition pour toute paire de morphismes composables. Tester une identité et une paire particulières peut illustrer ces lois, mais ne suffit pas à les établir ; si l'un de ces tests échoue, il ne s'agit pas d'un foncteur.

Pour oublier une structure, le foncteur sous-jacent envoie par exemple chaque groupe sur son ensemble d'éléments et chaque morphisme de groupes sur la même fonction. Cette voie convient lorsque seules les applications sous-jacentes comptent ; elle ne permet pas de retrouver automatiquement l'opération oubliée.

Pour suivre des sous-ensembles, l'image directe fournit le foncteur covariant de l'exemple. Si l'on part au contraire d'un sous-ensemble du but pour chercher tous ses antécédents, l'image réciproque inverse le sens des fonctions : le cadre contravariant est alors le bon choix.

Foncteur et morphisme. Un morphisme relie deux objets à l'intérieur d'une catégorie ; un foncteur relie deux catégories en agissant à la fois sur leurs objets et leurs morphismes. Dans l'exemple, f est un morphisme entre ensembles, tandis que P transporte tous les ensembles et toutes les fonctions.

Foncteur et transformation naturelle. Un foncteur transporte une catégorie vers une autre. Une transformation naturelle compare deux foncteurs F et G ayant mêmes catégorie source et catégorie cible, au moyen, pour chaque objet A, d'un morphisme η_A allant de F(A) vers G(A), tel que, pour tout morphisme f allant de A vers B, $G(f)\circ {\eta }_A={\eta }_B\circ F(f)G(f)\backslash circ\; \backslash eta\_A=\backslash eta\_B\backslash circ\; F(f)$. Si l'on compare F(A) et G(A) objet par objet en respectant cette condition de naturalité, la notion recherchée n'est plus un troisième foncteur.

Foncteur et équivalence de catégories. Tout foncteur préserve identités et composition, mais il n'est pas nécessairement réversible. Un foncteur qui envoie tous les objets sur un même objet peut perdre des distinctions ; cette seule préservation ne suffit donc pas à établir une équivalence.

Association d'objets incomplète. Choisir F(A) pour chaque objet ne détermine pas forcément des images compatibles pour les morphismes. Le symptôme apparaît lorsqu'une flèche n'a pas d'image du bon type. Il faut définir F(f), puis contrôler séparément identités et compositions.

Ordre contravariant. Si f va de A vers B et g de B vers E, un foncteur contravariant doit vérifier $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)F(g\backslash circ\; f)=F(f)\backslash circ\; F(g)$. Écrire les facteurs dans l'ordre covariant produit généralement une composition impossible à typer ; il faut suivre les sources et les buts renversés.

Préserver ne signifie pas distinguer. Un foncteur peut envoyer deux objets ou deux morphismes différents sur une même image. Si des informations fusionnent, il ne faut pas conclure que la construction possède un inverse ; des propriétés supplémentaires sont nécessaires.

Contrôle sur un seul exemple. Le calcul avec {2} vérifie une instance de la loi, mais la définition exige les deux égalités pour tout objet et toute paire composable. Pour l'image directe, la preuve générale repose sur l'égalité entre l'image d'un sous-ensemble par une composée et ses deux images successives.

théorie des catégories — Situer les foncteurs dans le langage qui organise objets, morphismes et compositions.

catégorie — Approfondir la structure de départ et d'arrivée qu'un foncteur doit respecter.

La théorie des catégories, un « abstract nonsense » ? — Découvrir pourquoi ce haut niveau d'abstraction permet de rapprocher des constructions mathématiques différentes.