Exacte (suite)

Imaginez des objets qui passent de main en main. À chaque étape, tout ce qui vient réellement de l'étape précédente correspond exactement à ce que l'étape suivante envoie sur zéro. Rien ne manque et rien ne s'ajoute à cet endroit. Une suite exacte traduit cet ajustement parfait entre deux morphismes consécutifs. Dans une suite exacte courte, le premier objet entre sans perdre d'élément, tandis que le dernier reçoit tout ce qui doit lui parvenir.

Une suite d'espaces vectoriels, de modules ou de groupes est formée d'objets reliés par des morphismes que l'on peut composer. Considérons trois objets consécutifs A, B et C, avec un morphisme f de A vers B puis un morphisme g de B vers C. La suite est exacte en B lorsque l'image de f, c'est-à-dire l'ensemble des éléments effectivement atteints dans B, est égale au noyau de g, l'ensemble des éléments de B envoyés sur zéro : $\mathrm{im}(f)=\ker (g)\backslash operatorname\{im\}(f)=\backslash ker(g)$. Elle est exacte si cette condition vaut à chaque objet où deux flèches se suivent.

Une suite exacte courte a la forme $0⟶A\stackrel{i}{\to }B\stackrel{p}{\to }C⟶00\backslash longrightarrow\; A\backslash xrightarrow\{i\}B\backslash xrightarrow\{p\}C\backslash longrightarrow\; 0$. L'exactitude au niveau de A signifie que le morphisme i est injectif. L'exactitude en B impose $\mathrm{im}(i)=\ker (p)\backslash operatorname\{im\}(i)=\backslash ker(p)$. L'exactitude en C signifie que le morphisme p est surjectif. Le symbole 0 désigne l'objet nul dans le cadre choisi. Cette écriture décrit ainsi B comme un objet contenant une copie de A, dont le quotient correspondant est C.

Une suite exacte courte met en jeu cinq objets — 0, A, B, C et 0 — reliés par quatre morphismes. Les objets A, B et C portent la structure algébrique considérée. Le morphisme i place A dans B sans identifier deux éléments distincts. Le morphisme p envoie B sur tout C. Enfin, les objets nuls aux extrémités imposent précisément ces propriétés d'injectivité et de surjectivité.

Le lien central dépend des deux flèches à la fois : les éléments produits par i sont exactement ceux que p annule. Cette égalité entraîne que la composée de i puis p est nulle, mais la réciproque n'est pas automatique. Les objets, les morphismes et l'égalité entre image et noyau définissent la structure ; la forme graphique, l'espacement ou le nom des flèches ne la définissent pas. Ces données suffisent à tester l'exactitude et, dans le cadre des espaces vectoriels ou des modules, à identifier C au quotient de B par l'image de i.

Prenons les espaces vectoriels réels ℝ et ℝ². Le morphisme i envoie le réel t sur le couple (t, 0). Le morphisme p envoie le couple (x, y) sur le réel y. La suite à examiner est :

1. Le morphisme i est injectif : si i(t) = (0, 0), alors t = 0. L'exactitude tient donc au premier exemplaire de ℝ.

2. Le noyau de p rassemble les couples dont la seconde coordonnée est nulle : $\ker (p)=\{(x,0)\mid x\in \mathbb{R}\}\backslash ker(p)=\backslash \{(x,0)\backslash mid\; x\backslash in\backslash mathbb\{R\}\backslash \}$.

3. L'image de i rassemble elle aussi tous les couples (t, 0). Ainsi, l'image de i est exactement le noyau de p au milieu de la suite.

4. Le morphisme p est surjectif, car tout réel r est l'image du couple (0, r). Les trois contrôles établissent l'exactitude de la suite. Pour refaire la vérification, choisissez un réel r quelconque, retrouvez son antécédent (0, r), puis contrôlez que les seuls couples envoyés sur 0 sont ceux de la forme (t, 0).

Pour vérifier une suite, on calcule à chaque objet l'image de la flèche entrante et le noyau de la flèche sortante. Tester seulement que deux flèches consécutives se composent en zéro ne suffit pas : cela donne une inclusion, pas nécessairement une égalité.

Dans une suite courte d'espaces vectoriels ou de modules, on peut retrouver C comme quotient de B par l'image de A. Si le morphisme vers C n'est pas surjectif, le quotient correspond plutôt à son image ; la suite affichée avec C n'est alors pas exacte à droite.

Pour étudier une extension, la suite courte précise comment A est inclus dans B et comment B se projette sur C. On cherche ensuite si elle est scindée. Dans le cadre des modules, un morphisme de C vers B dont la composée avec p est l'identité fournit ce critère ; sans un tel morphisme, il ne faut pas remplacer B par une somme directe.

En algèbre homologique, les suites exactes relient les invariants associés à plusieurs objets. On les préfère à l'étude séparée de ces objets lorsque les morphismes font apparaître précisément ce qui est transmis et ce qui disparaît.

Une suite exacte n'est pas simplement un complexe de chaînes. Dans un complexe, la composée de deux morphismes consécutifs est nulle, donc l'image est incluse dans le noyau. Si cette inclusion est stricte à un endroit, le complexe n'est pas exact à cet endroit.

Une suite exacte courte n'est pas nécessairement une suite exacte scindée. Pour trancher, il faut en plus trouver une section du morphisme surjectif, ou une rétraction du morphisme injectif, dans le cadre algébrique considéré. L'exactitude seule ne fournit pas ce choix.

Un diagramme commutatif exprime l'égalité de morphismes obtenus par différents chemins. L'exactitude compare au contraire une image et un noyau le long d'une même suite. Un diagramme peut être commutatif sans que ses lignes soient exactes.

La relation $g\circ f=0g\backslash circ\; f=0$ est nécessaire à l'exactitude en B, mais elle ne suffit pas. Elle montre seulement que l'image de f est contenue dans le noyau de g. Il faut comparer les deux ensembles, ou les deux sous-objets, pour établir leur égalité.

Une suite réduite à $0⟶A\stackrel{i}{\to }B0\backslash longrightarrow\; A\backslash xrightarrow\{i\}B$ ne garantit que l'injectivité de i si l'exactitude est bien exigée en A. Elle ne dit rien sur un éventuel quotient de B tant qu'aucune flèche sortante n'est donnée.

Une suite exacte courte d'espaces vectoriels de dimension finie est scindée, mais cette conclusion ne s'étend pas automatiquement aux modules. Dans un autre cadre, il faut exhiber une section ou une rétraction avant d'affirmer une décomposition en somme directe.

Dans une suite de groupes non commutatifs, le noyau reste un sous-groupe normal et l'image qui lui est égale l'est donc aussi dans l'objet central. Pour former le quotient associé, il faut conserver l'ordre de la composition et la structure de groupe ; une lecture purement additive peut masquer cette différence.

L'article injection précise le critère qui intervient à l'entrée d'une suite exacte courte.

L'article surjection approfondit la propriété imposée à la dernière flèche d'une suite exacte courte.