AlgèbreNotion · Glossaire
surjection
Une surjection, ou application surjective, est une application f d'un ensemble A vers un ensemble B telle que tout élément de B possède au moins un antécédent dans A, c'est-à-dire que l'image de f est exactement égale à l'ensemble d'arrivée B : pour tout y ∈ B, il existe au moins un x ∈ A tel que f(x) = y. Une surjection peut ne pas être injective : plusieurs éléments de A peuvent avoir la même image. Une application à la fois injective et surjective est appelée bijection.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une surjection en vérifiant que chaque élément d'arrivée a un antécédent.
- Comprendre pourquoi plusieurs antécédents peuvent partager la même image.
- Distinguer surjection, injection et bijection sur un exemple commun.
- Repérer l'effet d'un changement d'ensemble d'arrivée et les cas vides.
En clair
Imaginons cinq jetons numérotés, chacun envoyé vers une couleur : rouge, jaune ou bleu. Si les trois couleurs reçoivent au moins un jeton, l'attribution est surjective. Aucune couleur de la liste d'arrivée ne reste oubliée.
Deux jetons peuvent toutefois aboutir à la même couleur. La surjection exige donc une couverture complète des résultats possibles, mais elle n'exige pas que chaque résultat provienne d'un seul jeton.
Définition
Soient un ensemble de départ A, un ensemble d'arrivée B et une application f de A vers B. L'application f est surjective lorsque chaque élément de B est l'image d'au moins un élément de A. Un tel élément de A est appelé un antécédent. Formellement :
L'ensemble des valeurs effectivement obtenues, appelé image de f et noté f(A), doit donc coïncider avec B. La surjectivité dépend de l'ensemble d'arrivée déclaré : une même règle peut être surjective vers son image, mais ne pas l'être vers un ensemble plus grand. Plusieurs antécédents peuvent avoir la même image. Si chaque élément de B en a exactement un, f est à la fois surjective et injective ; c'est alors une bijection.
Un exemple, pas à pas
On considère l'ensemble de départ A = {1, 2, 3, 4, 5} et l'ensemble d'arrivée B = {rouge, jaune, bleu}. L'application f envoie 1 et 2 vers rouge, 3 vers jaune, puis 4 et 5 vers bleu. Un diagramme de flèches permet de contrôler simultanément toutes ces attributions.
1. Pour rouge, on trouve les antécédents 1 et 2.
2. Pour jaune, on trouve l'antécédent 3.
3. Pour bleu, on trouve les antécédents 4 et 5.
4. Les trois éléments de B ont donc chacun au moins un antécédent : f est surjective.
2. Pour jaune, on trouve l'antécédent 3.
3. Pour bleu, on trouve les antécédents 4 et 5.
4. Les trois éléments de B ont donc chacun au moins un antécédent : f est surjective.
Le contrôle est refaisable en parcourant B, et non A : aucune des trois couleurs ne doit rester sans flèche entrante. Comme rouge et bleu reçoivent chacun deux flèches, f n'est pas injective.
En pratique
Pour savoir si une équation f(x) = y admet une solution quel que soit le résultat visé y dans B, on teste la surjectivité de f vers B. Si certains y restent inaccessibles, on remplace B par l'image réelle de f ou l'on restreint la question aux valeurs atteignables.
Lorsqu'un paramétrage doit décrire tout un objet, la surjectivité garantit que chaque point visé est obtenu par au moins un paramètre. Si l'on exige aussi une représentation unique, la surjectivité ne suffit plus : il faut une bijection.
Pour une application entre ensembles finis, comparer les effectifs donne un premier filtre. Si A contient moins d'éléments que B, aucune surjection de A vers B n'existe. Dans le cas contraire, il faut encore vérifier que chaque élément de B est effectivement atteint.
À ne pas confondre
Surjection et injection. Une surjection contrôle que chaque élément d'arrivée est atteint ; une injection contrôle que deux éléments de départ distincts n'ont jamais la même image. Dans l'exemple des cinq jetons, toutes les couleurs sont atteintes, mais 1 et 2 ont la même image : l'application est surjective, non injective.
Surjection et bijection. Une bijection impose exactement un antécédent par élément d'arrivée. Ici, rouge et bleu ont chacun deux antécédents : la surjectivité est acquise, mais pas la bijectivité.
Ensemble d'arrivée et image. L'ensemble d'arrivée B est fixé lorsque l'application est définie ; l'image f(A) rassemble seulement les valeurs obtenues. Le test de surjectivité consiste précisément à vérifier leur égalité.
Limites et pièges
Changer l'ensemble d'arrivée change le verdict. La règle de l'exemple est surjective vers {rouge, jaune, bleu}. Si l'on déclare aussi vert dans l'ensemble d'arrivée sans modifier les images, vert n'a aucun antécédent et la surjectivité disparaît.
Comparer les tailles ne suffit pas. Entre deux ensembles finis, avoir au moins autant d'éléments au départ qu'à l'arrivée est nécessaire pour une surjection. Ce n'est pas suffisant : cinq jetons tous envoyés vers rouge laisseraient jaune et bleu sans antécédent.
Un antécédent n'est pas forcément unique. Chercher un seul x pour chaque y suffit au test. Conclure qu'il n'en existe qu'un ajouterait une condition d'injectivité absente de la définition.
Le cas vide est particulier. L'unique application de l'ensemble vide vers lui-même est surjective, car aucun élément d'arrivée ne manque d'antécédent. En revanche, aucune application de l'ensemble vide vers un ensemble non vide n'est surjective.
Pour aller plus loin
La fiche injection développe le critère d'unicité des images, complémentaire du critère de couverture propre à la surjection.
La fiche bijection réunit les deux exigences et explique quand chaque élément d'arrivée possède un unique antécédent.
L'article Georg Cantor : passer du fini à l'infini prolonge la réflexion sur les applications entre ensembles et la comparaison des cardinalités.
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