injection

Imaginez trois étiquettes numérotées 1, 2 et 3 que l’on range dans des cases nommées A, B, C et D. Si chaque étiquette rejoint une case différente, le rangement est injectif : en voyant la case occupée, on sait quelle étiquette y est arrivée. Une case peut rester vide, comme C dans l’exemple. L’essentiel est qu’aucune case ne reçoive deux étiquettes.

Soient un ensemble de départ E, un ensemble d’arrivée F et une application f qui associe à chaque élément de E un élément de F. L’application f est injective lorsque deux éléments différents de E ne peuvent pas avoir la même image dans F. Le critère s’écrit : $a\mathrm{\ne }b\Rightarrow f(a)\mathrm{\ne }f(b)a\; \backslash neq\; b\; \backslash Rightarrow\; f(a)\; \backslash neq\; f(b)$, pour tous éléments a et b de E.

On utilise souvent la formulation équivalente $f(a)=f(b)\Rightarrow a=bf(a)=f(b)\; \backslash Rightarrow\; a=b$. Elle fournit une méthode de preuve : on suppose que deux éléments ont la même image, puis on montre qu’ils sont nécessairement égaux. Dans l’ensemble d’arrivée, chaque élément possède alors au plus un antécédent ; certains peuvent n’en avoir aucun.

Si chaque élément de F possède aussi au moins un antécédent, l’application est surjective en plus d’être injective. Chaque élément de F a alors exactement un antécédent : f est une bijection.

Prenons l’ensemble de départ E = {1, 2, 3}, l’ensemble d’arrivée F = {A, B, C, D} et l’application f définie par f(1) = B, f(2) = D et f(3) = A.

1. Les images des trois éléments de E sont B, D et A.

2. Ces trois images sont distinctes : aucune valeur de F n’est atteinte par deux éléments de E.

3. L’application f est donc injective. En revanche, C n’a aucun antécédent : f n’est pas surjective et n’est donc pas bijective.

Le contrôle se refait directement : choisir deux éléments différents parmi 1, 2 et 3 donne toujours deux images différentes parmi B, D et A.

Pour prouver qu’une application est injective, on peut partir d’une égalité f(a) = f(b). Si le calcul force a = b, le critère est satisfait. Si l’on trouve au contraire deux valeurs distinctes ayant la même image, ce seul contre-exemple suffit à exclure l’injectivité.

Sur un diagramme fini, il suffit de suivre les flèches depuis l’ensemble de départ. Des arrivées toutes différentes signalent une injection ; deux flèches qui aboutissent au même élément signalent qu’elle ne l’est pas.

Pour une fonction réelle représentée par une courbe, une droite horizontale ne doit couper la courbe qu’une fois au plus. Ce test graphique est rapide ; une preuve algébrique reste préférable lorsque le dessin ne permet pas de trancher exactement.

Injection et surjection. L’injection interdit que deux éléments du départ partagent une image. La surjection exige que chaque élément de l’arrivée soit atteint. Dans l’exemple, les images B, D et A sont distinctes, mais C n’est jamais atteint : f est injective sans être surjective.

Injection et bijection. Une bijection cumule injectivité et surjectivité. Ainsi, l’exemple n’est pas une bijection puisque C n’a aucun antécédent, même si aucune image n’est répétée.

L’ensemble d’arrivée ne doit pas être oublié. Dans l’exemple, remplacer F = {A, B, C, D} par {A, B, D} ne change ni les images ni l’injectivité, mais rend l’application surjective. Il faut donc annoncer le départ, l’arrivée et la règle.

Le test horizontal a un cadre précis. Il concerne le graphe d’une fonction à valeurs réelles : chaque droite horizontale doit rencontrer le graphe au plus une fois. Ce dessin ne remplace pas la définition pour une application entre ensembles quelconques.

Le cas vide est légitime. L’unique application de l’ensemble vide vers n’importe quel ensemble est injective, car aucun couple d’éléments distincts ne peut contredire le critère. En revanche, il n’existe aucune application d’un ensemble non vide vers l’ensemble vide.

« Au plus un » n’est pas « exactement un ». Un élément de l’arrivée sans antécédent, comme C dans l’exemple, ne fait pas échouer l’injectivité. Il empêche seulement la surjectivité.

La fiche surjection présente la condition complémentaire : chaque élément de l’ensemble d’arrivée doit être atteint.

La fiche bijection montre ce que l’on obtient lorsqu’une même application est à la fois injective et surjective.