AlgèbreNotion · Glossaire
bijection
Une bijection est une application à la fois injective et surjective. Une application f : E → F est injective si deux éléments distincts de E ont des images distinctes dans F, et surjective si tout élément de F admet au moins un antécédent dans E. Une bijection établit donc une correspondance biunivoque entre les éléments de E et ceux de F : tout élément de F admet exactement un antécédent dans E. Une application est bijective si et seulement si elle admet une réciproque (application inverse).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la bijectivité aux conditions d’injectivité et de surjectivité.
- Vérifier une bijection finie en contrôlant les images et les antécédents.
- Lire l’application réciproque et repérer les pièges liés à l’ensemble d’arrivée ou aux ensembles infinis.
En clair
Imaginez trois casiers portant les lettres a, b et c, et trois jetons numérotés 1, 2 et 3. Une règle envoie chaque jeton dans un casier. Si chaque casier reçoit un seul jeton, ni plus ni moins, cette règle réalise une bijection.
On peut alors parcourir la correspondance dans les deux sens : le jeton détermine son casier, et le casier permet de retrouver un unique jeton.
Définition
Soient un ensemble de départ E, un ensemble d’arrivée F et une application f qui associe à chaque élément de E un unique élément de F. L’application f est bijective lorsqu’elle est simultanément injective et surjective. L’injectivité signifie que deux éléments distincts de E ne peuvent pas avoir la même image. La surjectivité signifie que chaque élément de F est l’image d’au moins un élément de E.
Ces deux conditions réunies donnent un critère équivalent : pour tout élément y de F, il existe un unique élément x de E tel que son image soit y. Ce critère s’écrit : .
Une bijection admet donc une application réciproque, notée , qui renvoie chaque élément de F vers son unique antécédent dans E. Réciproquement, l’existence d’une telle application inverse implique que f est bijective. Le choix de l’ensemble d’arrivée fait partie de la définition : une même règle peut être bijective ou non selon cet ensemble.
Un exemple, pas à pas
On considère l’ensemble de départ E = {1, 2, 3}, l’ensemble d’arrivée F = {a, b, c} et l’application f définie par trois associations : 1 a pour image b, 2 a pour image c et 3 a pour image a.
1. Relever les images : les trois images sont b, c et a.
2. Vérifier l’injectivité : ces images sont toutes distinctes, donc aucun élément de F ne reçoit deux antécédents.
2. Vérifier l’injectivité : ces images sont toutes distinctes, donc aucun élément de F ne reçoit deux antécédents.
3. Vérifier la surjectivité : a est l’image de 3, b celle de 1 et c celle de 2. Chaque élément de F est donc atteint.
4. Réunir les deux contrôles : f est à la fois injective et surjective, donc bijective.
4. Réunir les deux contrôles : f est à la fois injective et surjective, donc bijective.
La réciproque se lit en sens inverse : elle associe a à 3, b à 1 et c à 2. Le contrôle est refaisable en repartant de chaque lettre : on retrouve exactement un nombre, puis l’application f ramène à la lettre de départ.
En pratique
Pour apparier deux listes, une bijection formalise un jumelage sans doublon ni oubli. Si deux personnes reçoivent le même identifiant, l’injectivité échoue ; si un identifiant n’est attribué à personne, la surjectivité échoue.
Pour résoudre une équation de la forme f(x) = y, la bijectivité garantit à la fois l’existence et l’unicité de la solution x pour chaque valeur y de l’ensemble d’arrivée. Si seule l’existence importe, la surjectivité suffit ; pour garantir qu’il y a au plus une solution, l’injectivité suffit.
Pour comparer la taille de deux ensembles, construire une bijection montre qu’ils ont le même cardinal. Ce geste reste valable pour des ensembles infinis, même lorsqu’un simple comptage fini n’est plus possible.
À ne pas confondre
Injection. Une injection interdit que deux éléments de départ aient la même image, mais elle peut laisser des éléments de l’ensemble d’arrivée sans antécédent. Par exemple, l’inclusion des entiers naturels dans les entiers relatifs est injective sans être surjective.
Surjection. Une surjection atteint chaque élément de l’ensemble d’arrivée, mais plusieurs éléments de départ peuvent partager une image. Par exemple, associer à chaque entier son carré atteint tous les carrés parfaits naturels, mais 2 et −2 ont la même image 4.
Relation. Une relation peut associer un élément de départ à plusieurs éléments d’arrivée, ou à aucun. Une application impose déjà une unique image à chaque élément de départ ; la bijection ajoute l’unicité de l’antécédent.
Limites et pièges
L’ensemble d’arrivée compte. La règle qui envoie tout entier naturel n sur 2n est bijective des entiers naturels vers les entiers naturels pairs, mais pas vers tous les entiers naturels : les nombres impairs n’ont alors aucun antécédent. Il faut toujours préciser départ et arrivée.
Une formule inverse ne suffit pas. Avant d’écrire une réciproque, il faut vérifier qu’elle est définie sur tout l’ensemble d’arrivée et qu’elle donne un unique antécédent. La notation f−1 n’établit pas à elle seule la bijectivité.
Les ensembles infinis déjouent l’intuition finie. Un ensemble infini peut être en bijection avec une partie propre de lui-même. Les entiers naturels et les entiers naturels pairs sont ainsi appariés par la règle n ↦ 2n. Il faut construire ou exclure une correspondance, pas comparer leur apparence.
Le cas vide dépend des deux ensembles. L’unique application de l’ensemble vide vers lui-même est bijective. De l’ensemble vide vers un ensemble non vide, elle n’est pas surjective ; d’un ensemble non vide vers l’ensemble vide, aucune application n’existe.
Pour aller plus loin
L’injection isole la condition qui interdit à deux éléments de départ de partager une image.
La surjection détaille la condition selon laquelle chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent.
L’article Relations et applications : structurer les ensembles replace la bijection parmi les outils qui organisent les correspondances entre ensembles.
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