Trois types de fondement des mathématiques se distinguent. Le fondement logique consiste à montrer la non-contradiction du champ entier des mathématiques. On ne doit pas pouvoir, par deux démonstrations valides, démontrer qu'une proposition est à la fois vraie et fausse. Un fondement axiomatique se donne un nombre fini d'axiomes à partir desquels on doit pouvoir déduire toutes les mathématiques, à l'aide des règles de déduction d'une logique donnée. Cette option correspond au cadre de la théorie des ensembles.
Le fondement conceptuel des mathématiques, représenté par la théorie des catégories, détermine les concepts fondamentaux et leurs liens, constituant ainsi la grammaire et la syntaxe d'un langage universel qui permet de penser toutes les mathématiques. La démarche sous-jacente relève du plus pur esprit mathématique, s'intéresser au fond plutôt qu'à la forme : un groupe est ainsi plus une structure qu'un ensemble ! Ces deux dernières approches sont sœurs : la théorie des catégories peut servir de fondement axiomatique, et la théorie des ensembles de fondement conceptuel. C'est pourquoi la notion de relation, inhérente à la théorie des ensembles et en lien étroit avec la notion de structure, tient un rôle primordial en mathématique.
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Relations de couples
