Ensembles, relations et applications : une nouvelle approche
Un ensemble est une collection d'objets – les éléments – entre lesquels il peut exister toutes sortes de relations. Au niveau élémentaire, on peut visualiser les ensembles à l'aide de « patatoïdes » reliés par des flèches pour matérialiser les relations qui les lient, mais cette représentation naïve trouve rapidement ses limites, en particulier quand les ensembles sont infinis. La théorie des ensembles offre surtout un cadre à la formalisation rigoureuse de tous les domaines des mathématiques et conduit à des démonstrations renversantes : plus qu'une simple théorie, c'est une nouvelle approche des mathématiques.
Tous les articles de ce dossier
PodcastGeorg Cantor : passer du fini à l'infini
Pour généraliser aux ensembles infinis des résultats pratiques sur les ensembles finis, Cantor a défini l'égalité des cardinaux à travers la notion de bijection, donc celle d'inégalité à travers celles d'injection et de surjection. L'étonnant est que l'on obtienne une relation d'ordre.
De la collection d'objets à l'ensemble
Un ensemble peut être défini en extension ou en compréhension. C'est alors un exercice facile, mais formateur, de construire les nombres entiers. Cependant, gare à la simplicité apparente de la notion d'ensemble, vue comme une simple collection d'objets : les paradoxes guettent...
L'ensemble et ses parties
Les opérations élémentaires sur les ensembles comprennent l'inclusion, la réunion, l'intersection, la différence symétrique... La notion d'ensemble des parties est également naturelle et féconde. Comment décrire, dénombrer et structurer l'ensemble des parties ?
PodcastLes diagrammes en patate, une idée qui donne la frite
Quand on considère plusieurs parties d'un même ensemble, il peut être difficile de bien identifier leurs différentes intersections. Représenter ces parties par des "patatoïdes" permet souvent d'y voir plus clair et de ne pas avoir l'air patate devant des questions plus simples qu'elles ne paraissent.
PodcastLes règles de l'infini
On ne joue pas avec les ensembles sans devoir se soumettre à certaines règles...
Relations et applications : structurer les ensembles
La définition d'une notion de relation entre ensembles est incontournable pour pouvoir commencer à faire des mathématiques. Ce concept de relation, au cœur du fondement des mathématiques, donne comme cas particulier celui d'application et permet de doter les ensembles de structures.
PodcastLe nom des éléments d'un ensemble
Comme l'affirme David Hilbert dans une phrase devenue célèbre, attribuer un nom à un objet mathématique est artificiel. En revanche, identifier un objet à son image par une bijection de telle sorte que ses propriétés soient mises en valeur peut être décisif.
PodcastÉblouissantes relations binaires
Les hommes naissent libres et égaux en droit. Pourtant, un Coluche pouvait ajouter, non sans malice, que « certains sont plus égaux que d'autres » ! Définir un ordre ou une « égalité » en un certain sens demande de bien délimiter ce que ces notions recouvrent.
PodcastDedekind et les ensembles — Brève mathématique | Tangente
L'un des premiers promoteurs de la théorie des ensembles fut l'Allemand Dedekind, qui entretint une correspondance fameuse avec Cantor.