AlgèbreNotion · Glossaire
Produit cartésien
Le produit cartésien de deux ensembles A et B, noté A fois B, est l'ensemble de tous les couples ordonnés (a, b) avec a dans A et b dans B. Pour des ensembles finis, le cardinal du produit cartésien est le produit des cardinaux. Cette notion se généralise à toute famille finie d'ensembles et donne des n-uplets ordonnés. Lorsque les facteurs sont des espaces vectoriels sur un même corps, leur produit cartésien, muni des opérations composante par composante, forme un espace vectoriel produit. Elle intervient aussi dans la notion d'espace produit en topologie et dans celle de relation binaire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Former tous les couples ordonnés de deux ensembles.
- Calculer le cardinal d’un produit d’ensembles finis.
- Distinguer un produit cartésien d’une réunion et d’une relation binaire.
- Reconnaître les effets de l’ordre des facteurs et d’un ensemble vide.
En clair
Imaginez deux choix successifs : prendre un nombre dans {1, 2}, puis une lettre dans {x, y, z}. Chaque résultat garde l’ordre des choix : (1, x) n’est pas la même paire que (x, 1).
Le produit cartésien rassemble toutes les associations possibles, sans en oublier. Avec deux nombres et trois lettres, il contient donc six couples ordonnés.
Définition
Soient deux ensembles nommés A et B. Leur produit cartésien, noté A × B, est l’ensemble des couples ordonnés dont le premier élément appartient à A et le second à B. Si la lettre a désigne un élément de A et la lettre b un élément de B, cette définition s’écrit . L’ordre des composantes fait partie du couple.
Lorsque A et B sont finis, le nombre d’éléments d’un ensemble E est noté |E|. Le cardinal du produit vérifie , car chacun des |A| premiers choix peut être associé à chacun des |B| seconds choix. Si l’un des ensembles est vide, aucun couple ne peut être formé.
La construction s’étend à plusieurs ensembles : on obtient alors des triplets, puis plus généralement des n-uplets ordonnés. Un sous-ensemble de A × B définit une relation binaire entre A et B. Lorsque les facteurs sont des espaces vectoriels sur un même corps, leur produit cartésien, muni des opérations composante par composante, forme un espace vectoriel produit. En topologie, les produits fournissent aussi le support d’espaces produits.
Un exemple, pas à pas
On prend l’ensemble A = {1, 2} et l’ensemble B = {x, y, z}. Il faut construire A × B. Les données sont les deux éléments de A, les trois éléments de B et l’ordre imposé : nombre d’abord, lettre ensuite.
1. Avec le premier élément de A, on forme (1, x), (1, y) et (1, z).
2. Avec le second élément de A, on forme (2, x), (2, y) et (2, z).
3. On réunit les six résultats : A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}.
4. Le contrôle par les cardinaux donne |A| × |B| = 2 × 3 = 6. La liste contient bien six couples, chacun avec un nombre de A en première position et une lettre de B en seconde position.
En pratique
Pour énumérer des choix successifs, le produit cartésien convient lorsque chaque choix du premier ensemble peut accompagner chaque choix du second. Si certaines associations sont interdites, on retient plutôt le sous-ensemble des couples autorisés.
Pour décrire une relation binaire, on part de A × B puis on sélectionne les couples qui satisfont la règle. Dans A = {1, 2} et B = {x, y, z}, choisir seulement (1, x) et (2, z) produit une relation, pas le produit entier.
Pour compter toutes les associations entre deux ensembles finis, on multiplie leurs cardinaux. Une liste explicite reste préférable lorsque l’on doit connaître les couples eux-mêmes, et pas seulement leur nombre.
À ne pas confondre
Produit cartésien et réunion. La réunion A ∪ B rassemble les éléments présents dans A ou dans B, tandis que A × B rassemble des couples. Avec A = {1, 2} et B = {x, y, z}, la réunion a cinq éléments et le produit en a six.
Produit cartésien et relation binaire. Le produit contient tous les couples possibles entre les deux ensembles. Une relation binaire n’en conserve qu’un sous-ensemble selon une règle : {(1, x), (2, z)} est une relation incluse dans A × B.
Couple ordonné et ensemble à deux éléments. Dans un couple, la position compte : (1, x) place 1 avant x. Dans l’ensemble {1, x}, écrire les éléments dans l’autre ordre ne crée pas un nouvel ensemble.
Limites et pièges
Ensemble vide. Si A ou B ne contient aucun élément, aucune paire complète n’existe : A × B est vide. Le symptôme est une étape de choix sans option ; il faut conclure à zéro couple.
Ordre des facteurs. Échanger A et B échange aussi les positions dans chaque couple. Avec les ensembles de l’exemple, (1, x) appartient à A × B, alors que (x, 1) appartient à B × A. Il faut lire les facteurs de gauche à droite.
Comptage sans liste. L’égalité |A × B| = |A| × |B| donne le nombre de couples lorsque les ensembles sont finis, mais elle ne dit pas quels couples figurent dans le produit. Il faut les énumérer si leur identité est nécessaire.
Plus de deux ensembles. Trois facteurs produisent des triplets ordonnés, et non des couples. Il faut conserver une composante par ensemble et annoncer clairement l’ordre des facteurs.
Pour aller plus loin
relation binaire — Pour voir comment une règle sélectionne certains couples dans un produit cartésien.
Couple — Pour approfondir le rôle de l’ordre et des deux composantes.
espace vectoriel — Pour prolonger la construction vers les espaces vectoriels produits mentionnés dans la définition.
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