AnalyseNotion · Glossaire
Uplet
Un n-uplet (ou p-uplet) est une liste ordonnée de n éléments, généralisant les couples (2-uplets), triplets (3-uplets) et ainsi de suite. Un n-uplet (a_1, ..., a_n) est caractérisé par l'ordre et la multiplicité de ses composantes, ce qui le distingue d'un ensemble. Les n-uplets sont fondamentaux en mathématiques et en informatique pour représenter des vecteurs, des données structurées ou des relations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un n-uplet et nommer ses composantes.
- Vérifier l'égalité de deux uplets position par position.
- Distinguer un uplet d'un ensemble, d'un vecteur et d'un produit cartésien.
- Interpréter les cas de longueur 0 ou 1 et les uplets imbriqués.
En clair
Imaginez trois cases alignées contenant, dans cet ordre, 4, 2 et 4. L'ensemble forme le triplet (4, 2, 4). Chaque place compte : (2, 4, 4) n'est pas le même triplet, bien qu'il contienne les mêmes valeurs.
Une valeur peut aussi revenir plusieurs fois. Ici, le nombre 4 occupe deux composantes distinctes. Un uplet conserve donc l'ordre, le nombre de places et les répétitions.
Définition
Soit n un entier naturel fixé. Un n-uplet est une suite finie ordonnée de n composantes. On le note (a1, a2, …, an), où l'indice indique la position de chaque composante. Le terme p-uplet exprime la même idée avec une autre lettre pour le nombre de places. Un 2-uplet est un couple, un 3-uplet un triplet et un 4-uplet un quadruplet.
Deux n-uplets sont égaux exactement lorsque leurs composantes de même position sont égales. Si le premier uplet est noté (a1, …, an) et le second (b1, …, bn), le critère est :
Une même valeur peut occuper plusieurs positions : la multiplicité est conservée.
Les composantes peuvent appartenir à un même ensemble ou à des ensembles différents. Si la première doit appartenir à A1, la deuxième à A2, et ainsi de suite jusqu'à An, l'uplet appartient au produit cartésien A1 × A2 × … × An. Cette structure représente notamment des coordonnées, les arguments d'une fonction, une ligne de données ou les éléments mis en relation.
Un exemple, pas à pas
On considère le triplet (4, 2, 4). Il possède trois positions : la première contient 4, la deuxième 2 et la troisième 4. Pour vérifier sa structure, on conserve ces trois données séparément.
1. On compte les places : il y en a trois. L'objet est donc un 3-uplet, autrement dit un triplet.
2. On lit de gauche à droite. Échanger les deux premières composantes produit (2, 4, 4), qui diffère de (4, 2, 4) dès la première position.
3. On conserve les répétitions. Les première et troisième composantes valent toutes deux 4 ; aucune ne peut être supprimée.
4. Le contrôle consiste à comparer position par position. Le triplet (4, 2, 4) est égal à un autre triplet seulement si celui-ci contient successivement 4, puis 2, puis 4. Le schéma des trois cases permet de refaire ce contrôle visuellement.
En pratique
Pour repérer un point, ses coordonnées sont rangées dans un uplet : chaque position correspond à un axe déterminé. Un ensemble convient à la place seulement si l'ordre des coordonnées n'a aucune importance, ce qui n'est généralement pas le cas.
Dans une table de données, une ligne peut être traitée comme un uplet dont les positions correspondent aux colonnes. Une structure nommée est préférable lorsque le lecteur doit retrouver les champs sans connaître leur ordre.
Une fonction de plusieurs variables reçoit un uplet d'arguments. Cette écriture est adaptée lorsque le nombre et la position des entrées sont fixés ; une collection est préférable si l'on doit seulement parcourir un nombre variable d'éléments.
À ne pas confondre
Uplet et ensemble. Dans un uplet, l'ordre et les répétitions comptent ; dans un ensemble, non. Ainsi, (4, 2, 4) et (2, 4, 4) sont deux triplets distincts, tandis que leurs composantes déterminent le même ensemble {2, 4}.
Uplet et vecteur. Un uplet organise des composantes, sans fournir à lui seul d'addition ni de multiplication par un scalaire. Il représente un vecteur lorsque l'ensemble de ces uplets est muni d'opérations vectorielles appropriées, par exemple composante par composante.
Uplet et produit cartésien. Le produit cartésien est l'ensemble de tous les uplets autorisés par des ensembles de départ. Un uplet particulier, comme (4, 2, 4), en est un élément lorsque chaque composante appartient au bon ensemble.
Limites et pièges
La longueur fait partie de l'objet. Ajouter ou retirer une composante change l'uplet. Le triplet (4, 2, 4) n'est donc jamais égal au couple (4, 2), même si leurs deux premières positions coïncident.
Les répétitions ne se contractent pas. Transformer (4, 2, 4) en (4, 2) fait disparaître une position et une occurrence. Il faut comparer les composantes une à une plutôt que compter seulement les valeurs distinctes.
Les cas de longueur 0 ou 1 suivent une convention. Un 1-uplet possède une seule composante. En combinatoire et dans les produits cartésiens, on admet souvent un unique 0-uplet, appelé uplet vide ; il faut annoncer cette convention si le cas n = 0 intervient.
Une composante peut elle-même être un uplet. Le couple ((4, 2), 4) possède deux composantes, dont la première est un couple. Il ne faut pas l'aplatir en (4, 2, 4) sans règle explicite de transformation.
Pour aller plus loin
Produit cartésien — Voir comment des ensembles déterminent toutes les composantes autorisées et toutes leurs combinaisons ordonnées.
Couple — Approfondir le cas particulier à deux composantes, où l'ordre distingue notamment (a, b) de (b, a).
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