AnalyseNotion · Glossaire
Couple
En mathématiques, un couple (ou paire ordonnée) est une collection ordonnée de deux éléments, notée (a, b). Deux couples sont égaux si et seulement si leurs premiers éléments sont égaux et leurs seconds éléments sont égaux. Les couples sont les briques élémentaires de la construction des relations et des fonctions comme sous-ensembles du produit cartésien. En physique et en mécanique, un couple désigne aussi un système de deux forces égales et opposées dont les lignes d’action sont parallèles et distinctes, caractérisé par son moment.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle de l’ordre dans un couple.
- Tester l’égalité de deux couples composante par composante.
- Construire les six éléments d’un produit cartésien simple.
- Relier les couples aux relations, aux fonctions et aux uplets.
- Distinguer un couple d’une paire non ordonnée et d’un couple de forces.
En clair
Imaginez deux cases placées dans un ordre fixe. Dans la première, on écrit 2 ; dans la seconde, B. L’objet obtenu, noté (2, B), est un couple. La place compte autant que la valeur : (2, B) ne donne pas la même information que (B, 2).
Un couple sert ainsi à associer deux éléments tout en sachant lequel vient en premier et lequel vient en second.
Définition
Un couple, aussi appelé paire ordonnée, réunit deux éléments en distinguant une première et une seconde composante. Soient un ensemble E contenant un élément a et un ensemble F contenant un élément b. Le couple formé est noté (a, b), et il appartient au produit cartésien E × F. Les deux éléments peuvent être de même nature ou de natures différentes.
Pour comparer (a, b) et (c, d), l’ordre impose deux comparaisons composante par composante : . Ainsi, permuter les composantes change généralement le couple. Cette structure fournit les éléments du produit cartésien. Une relation entre E et F est un sous-ensemble de E × F ; une fonction de E vers F est une relation qui associe à chaque élément de E un unique élément de F. Le même principe s’étend à une suite ordonnée de plusieurs composantes, appelée uplet.
En mécanique, le mot « couple » possède un autre sens : il s’agit de deux forces dont les lignes d’action sont parallèles et distinctes, de même intensité et de sens opposés. Ce système est caractérisé par son moment, et non par deux composantes ordonnées.
Un exemple, pas à pas
On considère l’ensemble E = {1, 2, 3} et l’ensemble F = {A, B}. Chaque élément de E peut occuper la première place, et chaque élément de F la seconde. Le produit cartésien contient donc tous les couples possibles respectant cet ordre. Une représentation des six possibilités met en évidence le couple (2, B).
1. On choisit 1 dans E, puis A ou B dans F : (1, A) et (1, B).
2. On recommence avec 2 : (2, A) et (2, B).
3. On recommence avec 3 : (3, A) et (3, B).
4. On rassemble les résultats : E × F = {(1, A), (1, B), (2, A), (2, B), (3, A), (3, B)}.
2. On recommence avec 2 : (2, A) et (2, B).
3. On recommence avec 3 : (3, A) et (3, B).
4. On rassemble les résultats : E × F = {(1, A), (1, B), (2, A), (2, B), (3, A), (3, B)}.
Le résultat comporte exactement 3 × 2 = 6 couples. Le contrôle consiste à vérifier que chacun des trois premiers éléments apparaît une fois avec A et une fois avec B. Le couple (B, 2) n’appartient pas à E × F, puisque B n’appartient pas à E et 2 n’appartient pas à F.
En pratique
Pour repérer une case dans une grille, on peut utiliser un couple formé d’un numéro de ligne et d’un numéro de colonne. Si l’ordre est inversé, la case désignée change généralement ; il faut donc suivre la convention annoncée.
Pour décrire une relation, on rassemble les couples qui satisfont le lien étudié. Avec E = {1, 2, 3} et F = {A, B}, une relation peut retenir (1, A) et (2, B) sans retenir les quatre autres couples du produit cartésien.
Pour décrire une fonction de E vers F, on vérifie que chaque élément de E apparaît exactement une fois en première composante. Si un élément de E manque ou possède deux secondes composantes distinctes, l’ensemble de couples ne définit pas une fonction de E vers F.
À ne pas confondre
Couple et paire non ordonnée. Dans un couple, chaque position a un rôle : (2, B) et (B, 2) sont généralement différents. Dans un ensemble à deux éléments, l’ordre d’écriture ne compte pas : {2, B} et {B, 2} décrivent le même ensemble.
Couple mathématique et couple de forces. Le premier se reconnaît à ses deux composantes ordonnées. En mécanique, le terme désigne deux forces égales et opposées dont les lignes d’action sont parallèles et distinctes, et le système est caractérisé par un moment. La présence de forces et d’un moment tranche entre les deux sens.
Limites et pièges
Deux composantes identiques. Une écriture comme (2, 2) reste un couple : les deux places existent, même si elles contiennent la même valeur. La permutation ne produit alors aucun changement observable.
Permutation trompeuse. De (2, B), on ne peut pas déduire que (B, 2) appartient au même produit cartésien. Il faut contrôler l’ensemble autorisé pour chaque position ; ici, (B, 2) n’appartient pas à E × F.
Ensemble vide. Si l’un des deux ensembles de départ ne contient aucun élément, aucun choix n’est possible pour l’une des places. Le produit cartésien est alors vide et ne contient aucun couple.
Composantes elles-mêmes structurées. Chaque composante peut être un nombre, une lettre, un ensemble ou même un autre couple. Les parenthèses et la virgule doivent rendre le regroupement explicite avant toute comparaison.
Pour aller plus loin
Le produit cartésien montre comment deux ensembles engendrent tous les couples dont la première et la seconde composante respectent leurs ensembles de départ.
L’uplet prolonge la même idée à une suite ordonnée comportant plus de deux composantes.
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