N-uplet

Imaginez trois cases alignées contenant successivement 1, 0 et 1. Ces valeurs forment le triplet (1, 0, 1), un n-uplet à trois composantes. Chaque valeur est attachée à sa position : déplacer le 0 dans la première case donne un autre triplet. Le 1 peut apparaître deux fois, car les répétitions sont autorisées.

Un n-uplet conserve donc deux informations que l'ensemble de ses valeurs perdrait : l'ordre des composantes et le nombre de leurs occurrences.

Un n-uplet est une suite finie ordonnée comportant exactement n éléments, appelés composantes. Le nombre entier naturel n fixe sa longueur, aussi nommée arité. Si les composantes sont notées a₁, a₂, jusqu'à a_n, le n-uplet s'écrit $(a_1,a_2,\dots ,a_n)(a\_1,a\_2,\backslash ldots,a\_n)$. Deux n-uplets ne peuvent être égaux que s'ils ont la même longueur et si leurs composantes de même position sont égales.

Lorsque chaque composante appartient au même ensemble E, tous les n-uplets possibles constituent le produit cartésien Eⁿ. Cette notation abrège le produit de n copies de E. L'égalité se formule, pour deux n-uplets de longueur n, par le critère suivant : $(a_1,\dots ,a_n)=(b_1,\dots ,b_n)⟺a_i=b_i\text{ pour tout }i\in \{1,\dots ,n\}(a\_1,\backslash ldots,a\_n)=(b\_1,\backslash ldots,b\_n)\backslash iff\; a\_i=b\_i\backslash text\{\; pour\; tout\; \}i\backslash in\backslash \{1,\backslash ldots,n\backslash \}$.

Un 2-uplet porte le nom de couple et un 3-uplet celui de triplet. Les composantes peuvent se répéter. Les vecteurs de ℝⁿ fournissent un exemple majeur de n-uplets, mais ils disposent en plus d'opérations algébriques.

On considère l'ensemble binaire E = {0, 1} et des n-uplets de longueur n = 3.
Données :
– la première composante vaut 1 ;
– la deuxième composante vaut 0 ;
– la troisième composante vaut 1.

Étape 1. On place les trois valeurs dans l'ordre annoncé : on obtient le triplet (1, 0, 1).
Étape 2. Chaque valeur appartient à E et le triplet comporte trois positions. Il appartient donc à E³.
Étape 3. On compare avec (0, 1, 1). La première composante diffère, donc les deux triplets ne sont pas égaux.
Contrôle. Le triplet (1, 0, 1) contient bien trois composantes. Les positions 1 et 3 portent toutes deux la valeur 1 : cette répétition est permise. La représentation proposée rend visible ce contrôle position par position.

Pour enregistrer des coordonnées, on utilise un n-uplet lorsque chaque nombre correspond à un axe déterminé. Le point de coordonnées (2, 5) n'est pas interchangeable avec (5, 2). Un ensemble conviendrait seulement si les positions ne portaient aucune signification.

Dans un tableau de données, une ligne peut être traitée comme un n-uplet : chaque colonne fixe le rôle de la composante. Avant de comparer deux lignes, on vérifie que leurs colonnes suivent le même ordre.

Pour énumérer des choix successifs, le produit cartésien convient lorsque chaque position admet un ensemble de valeurs déterminé. Si seul le groupe de valeurs choisies importe, sans ordre ni répétition, on emploie plutôt un ensemble.

Un ensemble. L'ensemble {0, 1} est identique à {1, 0} et ne répète pas ses éléments. Les triplets (0, 1, 1) et (1, 0, 1), eux, sont distincts : la première position suffit à les départager.

Un vecteur. Un vecteur de ℝⁿ peut être représenté par un n-uplet de réels, mais il appartient aussi à un espace muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire. Un simple n-uplet de couleurs ne possède pas automatiquement ces opérations.

Longueur fixée. Comparer (1, 0) à (1, 0, 1) composante par composante ne suffit pas : leurs longueurs diffèrent. Il faut d'abord vérifier la même valeur de n.

Cas n = 0. Il existe un unique 0-uplet, appelé n-uplet vide. Il ne comporte aucune composante. Cette convention permet notamment au produit cartésien sans facteur de posséder un élément.

Domaines différents. La notation Eⁿ suppose que toutes les composantes sont choisies dans le même ensemble E. Si les positions ont des domaines distincts E₁, E₂, jusqu'à E_n, on utilise leur produit cartésien dans cet ordre.

Indexation. La première composante est souvent numérotée 1 en mathématiques, mais certains contextes informatiques commencent à 0. Il faut annoncer la convention d'indice avant de désigner une position.

Le produit cartésien montre comment construire l'ensemble de tous les choix ordonnés possibles et généraliser Eⁿ à des composantes de domaines différents.