Quadruplet

Écrivez quatre nombres dans quatre cases alignées : 2, 5, 1 et 7. Vous obtenez le quadruplet $(2,5,1,7)(2,5,1,7)$. Chaque nombre occupe une place précise : 2 est le premier élément, 5 le deuxième, 1 le troisième et 7 le quatrième.

L'ordre fait partie de l'objet. Déplacer un seul nombre donne donc un autre quadruplet, même si les quatre nombres présents restent les mêmes.

Un quadruplet est une suite ordonnée comportant exactement quatre éléments. Si les quatre éléments sont nommés a, b, c et d, dans cet ordre, le quadruplet s'écrit $(a,b,c,d)(a,b,c,d)$. La première, la deuxième, la troisième et la quatrième composante sont respectivement a, b, c et d. Deux quadruplets sont égaux si, et seulement si, leurs composantes de même rang sont égales.

Les éléments peuvent être des objets mathématiques quelconques et ne sont pas nécessairement distincts. Le quadruplet $(2,2,1,7)(2,2,1,7)$ est donc parfaitement valable. Selon le contexte, les quatre composantes peuvent appartenir à un même ensemble ou à des ensembles différents. Un quadruplet est un 4-uplet : il prolonge la famille formée par les couples, qui ont deux composantes, et les triplets, qui en ont trois.

En théorie des ensembles, on peut construire récursivement le quadruplet à partir d'un triplet et du quatrième élément. Avec la convention donnée par la source, cette construction s'écrit $(a,b,c,d)=((a,b,c),d)(a,b,c,d)=((a,b,c),d)$. Cette représentation en couples est une construction possible ; l'information essentielle reste la présence de quatre positions ordonnées.

Considérons les quatre données 2, 5, 1 et 7, annoncées dans cet ordre. Elles doivent être rangées sans tri ni permutation.

1. Placez 2 au premier rang.
2. Placez 5 au deuxième rang.
3. Placez 1 au troisième rang.
4. Placez 7 au quatrième rang.

Le résultat est le quadruplet $Q=(2,5,1,7)Q=(2,5,1,7)$. La figure matérialise les quatre rangs : chaque valeur reste attachée à sa position.

Pour contrôler le résultat, relisez les composantes de gauche à droite : la première vaut 2, la deuxième 5, la troisième 1 et la quatrième 7. Le quadruplet $(5,2,1,7)(5,2,1,7)$ contient les mêmes nombres, mais le contrôle échoue dès le premier rang : ce n'est pas Q.

Pour repérer un point dans un espace de dimension quatre, quatre coordonnées ordonnées forment un quadruplet. Un couple convient en dimension deux et un triplet en dimension trois ; le nombre de coordonnées nécessaires détermine le choix.

Pour représenter un quaternion, quatre composantes peuvent être réunies dans un quadruplet. Cette écriture convient lorsque chaque rang possède un rôle fixé ; un ensemble non ordonné ne conserverait pas cette information de position.

Dans une construction en théorie des ensembles, le quadruplet peut être encodé récursivement par un couple formé d'un triplet et du dernier élément. Cette construction sert lorsque l'on veut ramener les suites finies à la notion de couple.

Un ensemble de quatre éléments. Dans un ensemble, l'ordre d'énumération ne change pas l'objet. Dans un quadruplet, chaque rang compte : $(2,5,1,7)(2,5,1,7)$ et $(5,2,1,7)(5,2,1,7)$ sont différents.

Un quaternion. Un quadruplet est une structure ordonnée à quatre places. La définition source indique qu'il peut servir à représenter un quaternion, sans identifier pour autant la représentation et l'objet représenté. Le contexte doit préciser que les quatre composantes sont interprétées comme celles d'un quaternion.

Répétitions. Quatre composantes ne signifient pas quatre valeurs différentes. Si deux rangs contiennent 2, il faut conserver les deux occurrences : $(2,2,1,7)(2,2,1,7)$ reste un quadruplet.

Permutation. Trier les composantes détruit l'information d'ordre. Le symptôme est simple : au moins une valeur change de rang. Il faut comparer les quatre positions une à une plutôt que le seul inventaire des éléments.

Parenthésage en théorie des ensembles. L'écriture récursive dépend d'une convention de codage des suites ordonnées. Il faut annoncer la convention employée ; le parenthésage $((a,b,c),d)((a,b,c),d)$ est celui retenu dans la définition source, sans être une propriété visible des quatre composantes elles-mêmes.

Nombre de composantes. Une suite ordonnée de trois ou de cinq éléments n'est pas un quadruplet. Le cas charnière est exact : l'objet doit posséder quatre positions, ni trois ni cinq.

Le quadruplet prend place dans une famille de suites ordonnées et peut aussi servir de représentation à d'autres objets mathématiques. Ces prolongements précisent ce qui appartient au quadruplet lui-même et ce qui relève de l'objet représenté.

Uplet. Le cadre général permet de passer de quatre composantes à un nombre quelconque de positions ordonnées.

Couple. Le cas à deux composantes éclaire la construction récursive des suites ordonnées finies.

quaternion. Cette notion précise un contexte dans lequel un quadruplet sert de représentation.