AlgèbreNotion · Glossaire
quaternion
Un quaternion est un nombre hypercomplexe de la forme q = a + ib + cj + dk, où a, b, c, d sont des réels. i est l'unité imaginaire complexe (i^2 = -1) ; j et k sont deux nouvelles unités vérifiant j^2 = k^2 = ijk = -1, ainsi que ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j. La multiplication des quaternions est non commutative. L'ensemble des quaternions, introduit par William Rowan Hamilton en 1843, contient les réels et les complexes comme sous-ensembles.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les quatre coefficients et les unités d'un quaternion.
- Utiliser les relations entre i, j et k sans inverser l'ordre des facteurs.
- Refaire un calcul montrant que qr peut différer de rq.
- Situer les réels et les complexes à l'intérieur des quaternions.
En clair
Prenez quatre nombres réels, par exemple 1, 1, 0 et 0. En les plaçant devant quatre directions nommées 1, i, j et k, vous obtenez le quaternion 1 + i. Cette écriture ressemble à celle d'un nombre complexe, mais elle dispose de deux unités supplémentaires, j et k.
La nouveauté décisive apparaît quand on multiplie : i suivi de j donne k, tandis que j suivi de i donne −k. L'ordre des facteurs peut donc changer le résultat.
Définition
Un quaternion q est déterminé par quatre coefficients réels nommés a, b, c et d. Il s'écrit q = a + ib + cj + dk. Le symbole i est l'unité imaginaire des nombres complexes ; les symboles j et k sont deux unités supplémentaires. Chacune des trois unités a pour carré −1 : i2 = j2 = k2 = −1.
Leurs produits dépendent de l'ordre. Les relations qui les fixent sont :
Elles impliquent aussi ijk = −1. La multiplication de deux quaternions se développe en respectant ces relations et l'ordre des facteurs. Elle n'est donc pas commutative en général.
Les réels apparaissent lorsque b = c = d = 0. Les nombres complexes apparaissent lorsque c = d = 0 : il reste alors a + ib. Ces inclusions expliquent en quel sens les quaternions prolongent les systèmes de nombres déjà connus. William Rowan Hamilton a introduit cet ensemble en 1843.
Un exemple, pas à pas
Comparons deux produits formés avec les mêmes quaternions. Le premier est q = 1 + i et le second r = 1 + j. Leurs coefficients sont réels, et la seule relation nouvelle nécessaire au calcul est ij = k, avec ji = −k.
Données :
q = 1 + i ;
r = 1 + j ;
ij = k ;
ji = −k.
q = 1 + i ;
r = 1 + j ;
ij = k ;
ji = −k.
1. Multiplier q par r en conservant cet ordre :
2. Inverser l'ordre des facteurs :
3. Comparer les coefficients de k : le premier vaut 1, le second −1.
Le résultat est donc qr ≠ rq. Le contrôle se refait en remplaçant seulement ij par k et ji par −k : les parties réelle, en i et en j restent identiques, tandis que la partie en k change de signe.
En pratique
Pour reconnaître un quaternion, on relève ses quatre coefficients réels dans l'ordre des unités 1, i, j et k. Si les coefficients de j et de k sont nuls, l'écriture complexe suffit ; s'ils sont tous trois nuls, un réel suffit.
Pour multiplier deux quaternions, on développe les produits sans permuter les unités, puis on remplace i2, j2 et k2 par −1 et les produits croisés par les relations correspondantes. Une multiplication commutative ordinaire n'est acceptable que si le calcul particulier le justifie.
Pour contrôler un résultat, on compare séparément les coefficients de 1, i, j et k. Dans l'exemple q = 1 + i et r = 1 + j, cette lecture localise immédiatement la différence entre qr et rq dans le seul coefficient de k.
À ne pas confondre
Un nombre complexe s'écrit avec deux coefficients réels, selon les unités 1 et i. Un quaternion en comporte quatre, selon 1, i, j et k. Ainsi 1 + i est à la fois complexe et quaternion, tandis que 1 + j est un quaternion qui n'appartient pas au sous-ensemble des nombres complexes.
Un quadruplet de réels donne les quatre coefficients d'un quaternion, mais ne suffit pas à décrire sa multiplication. Le test qui tranche consiste à calculer un produit : pour les quaternions, ij = k et ji = −k imposent une règle ordonnée.
Limites et pièges
Inverser l'ordre peut inverser un signe. Le symptôme apparaît dès que ij est remplacé comme s'il valait ji. Il faut conserver l'ordre écrit : ij = k, mais ji = −k.
Non commutative ne signifie pas « toujours différente ». Certains produits particuliers coïncident malgré la règle générale. Par exemple, q × 1 = 1 × q pour tout quaternion q ; il faut donc comparer les deux ordres du calcul considéré au lieu de conclure automatiquement à une différence.
Les sous-ensembles ne doivent pas être lus à l'envers. Tout réel et tout complexe peuvent être écrits comme quaternions en annulant des coefficients. Un quaternion dont le coefficient de j ou de k est non nul ne prend toutefois pas la forme complexe a + ib retenue ici.
Pour aller plus loin
La table des produits des unités permet de prolonger l'exemple à deux quaternions quelconques. Le point essentiel reste de développer dans l'ordre, puis de regrouper séparément les coefficients réels et ceux de i, j et k.
Les inclusions des réels et des complexes offrent aussi deux cas de contrôle. En annulant les coefficients de j et de k, les calculs doivent retrouver ceux des nombres complexes ; en annulant également celui de i, ils doivent retrouver ceux des réels.
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