AlgèbreNotion · Glossaire
algèbre de Hamilton
L'algèbre de Hamilton, ou algèbre des quaternions, est l'algèbre réelle à division non commutative formée des quadruplets de nombres réels, munie de l'addition coordonnée par coordonnée et de la multiplication déterminée par i² = j² = k² = ijk = −1. Elle étend les nombres complexes à quatre dimensions et permet notamment de représenter efficacement les rotations en trois dimensions.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier un quaternion comme un quadruplet réel.
- Refaire le produit de 1 + i par 1 + j dans les deux ordres.
- Expliquer pourquoi H est non commutatif.
- Distinguer les quaternions des complexes et du groupe des quaternions.
- Relier les quaternions aux rotations utilisées en mécanique, en physique et en infographie.
En clair
Prenez quatre nombres réels et rangez-les dans un même objet. Le premier donne sa partie réelle ; les trois autres accompagnent trois symboles, i, j et k. Cet objet est un quaternion.
On peut additionner et multiplier ces objets. Mais l'ordre d'une multiplication compte : multiplier d'abord avec i puis j ne donne pas le même résultat que dans l'ordre inverse. C'est le sens concret de « non commutatif ».
Définition
L'algèbre de Hamilton, notée H, est l'espace vectoriel réel R⁴ muni de l'addition composante par composante et d'une multiplication particulière. Un quaternion s'écrit x = a + bi + cj + dk, où a, b, c et d sont réels. Les quatre éléments 1, i, j et k correspondent à la base canonique de R⁴. Pour deux quaternions de coordonnées (a, b, c, d) et (a', b', c', d'), leur produit est défini par :
Cette loi fait de H une algèbre réelle à division : tout quaternion non nul possède un inverse. Sa multiplication est toutefois non commutative, car l'ordre des facteurs peut changer le produit. Les nombres réels correspondent aux quaternions (a, 0, 0, 0), et les nombres complexes usuels aux quaternions (a, b, 0, 0). H étend ainsi les complexes, mais avec quatre coordonnées réelles.
Un exemple, pas à pas
On choisit deux quaternions : p = 1 + i et q = 1 + j. Leurs coordonnées sont respectivement (1, 1, 0, 0) et (1, 0, 1, 0). Les règles utiles sont i2 = j2 = −1, ij = k et ji = −k.
1. Dans l'ordre pq, on développe : (1 + i)(1 + j) = 1 + i + j + ij = 1 + i + j + k.
2. Dans l'ordre qp, on obtient : (1 + j)(1 + i) = 1 + i + j + ji = 1 + i + j − k.
3. Les trois premières coordonnées coïncident, mais la quatrième vaut 1 pour pq et −1 pour qp. Donc pq ≠ qp. Le contrôle se refait directement avec la loi sur les quadruplets : elle donne (1, 1, 1, 1), puis (1, 1, 1, −1).
En pratique
En infographie, un quaternion peut représenter une rotation dans l'espace. On compose alors deux rotations en multipliant leurs quaternions ; l'ordre du produit dépend de la convention retenue pour les rotations actives ou passives et pour leur composition. Une matrice de rotation reste une alternative naturelle lorsqu'on veut agir directement sur les coordonnées de nombreux points.
En mécanique et en physique, les quaternions servent à suivre une orientation et ses changements. Ils sont particulièrement adaptés lorsque plusieurs rotations successives doivent être combinées ; l'ordre du calcul doit être conservé, précisément parce que la multiplication n'est pas commutative.
Pour un calcul limité à un plan, les nombres complexes suffisent souvent : deux coordonnées réelles décrivent alors la situation. Le passage aux quaternions devient pertinent quand trois directions imaginaires et des rotations de l'espace sont réellement en jeu.
À ne pas confondre
Avec les nombres complexes. Un complexe s'écrit avec deux coordonnées réelles, tandis qu'un quaternion en utilise quatre. Dans les produits pq et qp de l'exemple, la présence simultanée de j et de k sort du plan complexe usuel.
Avec un corps commutatif. Dans un corps commutatif, échanger deux facteurs ne change jamais leur produit. Ici, pq = 1 + i + j + k, alors que qp = 1 + i + j − k : H est donc un anneau à division non commutatif.
Avec le groupe des quaternions. L'algèbre H contient une infinité de quadruplets réels et possède addition et multiplication. Le groupe des quaternions désigne seulement les huit éléments ±1, ±i, ±j et ±k, considérés avec la multiplication.
Limites et pièges
L'ordre des facteurs n'est pas interchangeable. Le symptôme est une composante qui change de signe, comme la composante en k dans l'exemple. Il faut conserver l'ordre imposé par le problème et recalculer le produit si cet ordre est inversé.
Zéro n'a pas d'inverse. Dire que H est un corps signifie que chaque quaternion non nul est inversible. Si les quatre coordonnées valent 0, toute tentative de division par ce quaternion est impossible.
Quatre coordonnées ne signifient pas quatre dimensions physiques. Le quadruplet appartient à R⁴, mais une application peut encoder une orientation de l'espace usuel. Il faut distinguer la dimension de l'objet algébrique de celle de la situation représentée.
Tous les quaternions ne représentent pas directement une rotation. Dans cet usage, on retient des quaternions de norme 1. Si le quaternion est non nul et que la somme des carrés de ses quatre coordonnées n'est pas 1, il faut d'abord le normaliser ou employer la représentation adaptée au calcul. Le quaternion nul ne peut pas être normalisé et ne représente pas une rotation par cette méthode.
Pour aller plus loin
Le corps commutatif précise la propriété qui échoue dans H : l'ordre des facteurs y est indifférent. Cette comparaison situe exactement la singularité algébrique des quaternions.
La rotation vectorielle prolonge l'usage géométrique évoqué ici et aide à relier une transformation de l'espace à sa représentation algébrique.
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