octonion

Imaginez deux boîtes contenant chacune un quaternion. Leur paire forme un octonion : les quatre directions de la première boîte et les quatre de la seconde donnent huit directions au total. Un octonion se repère donc par huit nombres réels.

Cette extension conserve une multiplication et une norme, mais change une habitude essentielle. Avec trois octonions, déplacer les parenthèses d'un produit peut changer le résultat. L'ordre des regroupements fait ainsi partie du calcul.

Un octonion est un élément d'une algèbre réelle de dimension 8, construite comme une extension de l'algèbre des quaternions de Hamilton. Il peut être décrit par une paire de quaternions. Si les lettres 1, i, j et k désignent la base canonique des quaternions, la base canonique des octonions est formée de e₀ = (1, 0), e₁ = (i, 0), e₂ = (j, 0), e₃ = (k, 0), e₄ = (0, 1), e₅ = (0, i), e₆ = (0, j) et e₇ = (0, k). Chaque octonion possède ainsi huit coordonnées réelles dans cette base.

Cette structure est une algèbre de division réelle normée : la multiplication et la norme y sont compatibles avec la division par un élément non nul. Parmi les algèbres de division réelles normées de dimension finie, les octonions ont la plus grande dimension. En revanche, leur multiplication n'est pas associative. Pour trois octonions nommés a, b et c, l'égalité $(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)$ n'est donc pas garantie.

Les octonions sont aussi appelés octaves de Cayley. John T. Graves et Arthur Cayley les ont introduits indépendamment au XIX^e siècle ; Cayley fut le premier à publier, en 1845.

Considérons l'octonion x formé par la paire de quaternions (1 + i, j). Les données sont les deux coefficients 1 et 1 dans la première composante, le coefficient 1 devant j dans la seconde, et des coefficients nuls ailleurs.

1. Dans la première composante, 1 correspond à e₀ et i correspond à e₁. Cette composante apporte donc e₀ + e₁.

2. Dans la seconde composante, j correspond à e₆ = (0, j). Elle apporte donc e₆.

3. En réunissant les contributions, on obtient l'écriture dans la base canonique : $x=(1+i,j)=e_0+e_1+e_{6}x=(1+i,j)=e\_0+e\_1+e\_6$.

Le vecteur de coordonnées de x est donc (1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0). Le contrôle consiste à reconstruire la paire : les quatre premières coordonnées redonnent 1 + i, et les quatre dernières redonnent j. La figure rend visible cette répartition entre les deux composantes quaternioniques.

Pour lire un octonion donné comme une paire de quaternions, on sépare d'abord les quatre coordonnées de la première composante des quatre coordonnées de la seconde. Cette lecture fournit directement ses huit coefficients dans la base e₀, …, e₇.

Quand la seconde composante est nulle, l'écriture reste entièrement dans les quatre premières directions. Le langage des quaternions est alors suffisant dans cette représentation ; une composante non nulle parmi e₄, e₅, e₆ ou e₇ signale seulement que l'octonion n'appartient pas à cette copie canonique des quaternions.

Dans un produit de trois facteurs, on conserve toujours les parenthèses. Deux écritures qui ne diffèrent que par leur regroupement ne peuvent être identifiées sans vérification, car la multiplication des octonions n'est pas associative.

Octonion et quaternion. Un quaternion possède quatre coordonnées réelles dans la base 1, i, j, k. Un octonion en possède huit et s'écrit comme une paire de quaternions. Dans l'exemple x = (1 + i, j), la seconde composante j est non nulle : x n'est donc pas seulement un quaternion.

Octonion et simple liste de huit nombres. Les huit coordonnées repèrent l'élément, mais l'objet est aussi muni d'une multiplication, d'une norme et d'une structure d'algèbre réelle. Une liste de huit nombres dépourvue de ces opérations ne suffit pas à définir l'algèbre des octonions.

Parenthèses omises. Dans un produit de trois octonions, l'écriture abc est ambiguë si aucun regroupement n'est fixé. Il faut écrire (ab)c ou a(bc), puis conserver ce choix : ces deux résultats ne sont pas égaux en général.

Portée du mot « plus grande ». La maximalité annoncée porte sur les algèbres de division réelles normées de dimension finie. Elle ne signifie pas qu'aucune algèbre réelle de dimension supérieure n'existe. Il faut toujours conserver les quatre qualifications : réelle, normée, de division et de dimension finie.

Huit coordonnées, mais une base ordonnée. Pour x = (1 + i, j), le coefficient 1 de la seconde composante devant j occupe la position de e₆, pas celle de e₂. Le contrôle fiable consiste à reconstruire séparément les deux quaternions à partir des coordonnées.

quaternion — Retrouvez la structure à quatre dimensions que les octonions étendent et qui fournit chacune des deux composantes de leur écriture.

algèbre — Situez la multiplication des octonions dans le cadre général qui associe un espace vectoriel à une opération interne.