algèbre de Clifford

Prenons deux flèches unitaires perpendiculaires, e₁ et e₂. Dans l'algèbre de Clifford du plan euclidien, chacune multipliée par elle-même donne 1. Leur produit décrit un élément orienté du plan, appelé bivecteur. Inverser l'ordre inverse son orientation : e₂e₁ = −e₁e₂.

Cette multiplication réunit ainsi longueurs, directions et orientations dans un même calcul. Un nombre de Clifford peut additionner des morceaux de natures différentes, par exemple un scalaire, un vecteur et un bivecteur.

Soit V un espace vectoriel réel muni d'une forme quadratique réelle Q, c'est-à-dire une fonction homogène de degré 2 dont la polarisation est bilinéaire. L'algèbre de Clifford de V et Q est l'algèbre associative avec unité engendrée par les vecteurs de V, sous la relation suivante : pour tout vecteur v, $v^2=Q(v)1v^2=Q(v)\backslash ,1$. Le symbole 1 désigne l'unité de l'algèbre.

La forme bilinéaire symétrique B associée à Q est définie par $B(u,v)=\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2}B(u,v)=\backslash frac\{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\}\{2\}$ pour deux vecteurs u et v. Elle donne alors $uv+vu=2B(u,v)1uv+vu=2B(u,v)\backslash ,1$. Deux vecteurs orthogonaux s'anticommutent donc. Les produits de vecteurs engendrent des composantes de différents grades : scalaires de grade 0, vecteurs de grade 1, bivecteurs de grade 2, puis grades supérieurs jusqu'au grade égal à la dimension. Le terme pseudoscalaire désigne la composante de grade maximal. Leur somme est un multivecteur, souvent appelé nombre de Clifford.

Pour une forme quadratique non dégénérée, on peut choisir une base orthogonale normalisée dans laquelle le carré de chaque vecteur de base vaut +1 ou −1, selon la convention retenue ; le nombre de signes de chaque sorte détermine la signature. Dans une base quelconque, ces carrés ne sont pas nécessairement égaux à +1 ou −1 et, si la forme est dégénérée, une base orthogonale adaptée peut aussi comporter des directions de carré nul. Cette donnée distingue les algèbres réelles notées couramment Cl_p,q. Certaines petites signatures donnent une algèbre isomorphe aux nombres complexes ou aux quaternions. Si la forme quadratique est nulle, la relation devient celle de l'algèbre extérieure. La multiplication est généralement non commutative, mais les cas de dimension 0 ou 1 constituent des exceptions commutatives.

Dans le plan euclidien, prenons deux vecteurs unitaires orthogonaux e₁ et e₂. Les données sont e₁² = 1, e₂² = 1 et e₂e₁ = −e₁e₂. Posons x = e₁ + 2e₂ et y = 3e₁ − e₂.

1. Développer le produit dans l'ordre xy.

2. Remplacer les carrés par 1 et e₂e₁ par −e₁e₂. On obtient $xy=1-7e_1{e}_{2}xy=1-7e\_1e\_2$.

3. Refaire le développement dans l'ordre inverse donne $yx=1+7e_1{e}_{2}yx=1+7e\_1e\_2$. Les parties scalaires sont identiques, mais les parties bivectorielles ont des signes opposés.

4. Contrôler séparément les coefficients : 3 − 2 = 1 pour le scalaire, et −1 − 6 = −7 pour le bivecteur de xy. Comme xy ≠ yx, ce calcul vérifie ici la non-commutativité.

En géométrie, le produit de Clifford encode dans une même opération le produit scalaire et l'orientation portée par le produit extérieur. Quand un calcul doit combiner angles, réflexions ou rotations, ce langage évite de changer d'outil à chaque étape. Pour une simple longueur ou un simple angle, le produit scalaire suffit.

En calcul géométrique, des produits de vecteurs de carré non nul peuvent représenter des transformations. On préfère cette écriture lorsque leur composition et leur inversion sont centrales ; pour une rotation tridimensionnelle isolée, les quaternions offrent souvent une représentation plus spécialisée.

En géométrie différentielle et en physique théorique, les algèbres de Clifford interviennent lorsque l'espace possède une métrique et que des objets comme les spineurs ou les opérateurs de Dirac doivent conserver cette information. Une algèbre extérieure reste l'alternative naturelle si seule l'orientation antisymétrique compte, sans norme quadratique.

Algèbre extérieure. Son produit est le produit extérieur, pour lequel le carré d'un vecteur est toujours nul. Dans une algèbre de Clifford, le carré de v vaut Q(v). Un vecteur de carré 1 tranche donc immédiatement en faveur du produit de Clifford.

Algèbre géométrique. Elle désigne généralement une algèbre de Clifford employée avec une interprétation géométrique explicite de ses produits et transformations. Le critère n'est donc pas une nouvelle relation algébrique, mais l'usage du même formalisme pour raisonner sur la géométrie.

Quaternions. Les quaternions forment une algèbre réelle particulière de dimension 4. Les algèbres de Clifford constituent une famille dépendant d'un espace et d'une forme quadratique ; l'une de leurs petites signatures est isomorphe aux quaternions. Un problème spécifiant trois unités quaternioniques vise cette algèbre particulière, pas toute la famille de Clifford.

La signature n'est pas décorative. Écrire seulement « algèbre de Clifford de V » masque le signe des carrés. Le symptôme est une base dont les mêmes vecteurs sont annoncés tantôt de carré +1, tantôt de carré −1. Il faut préciser la forme quadratique ou la convention de signature.

La liste des grades dépend de la dimension. Scalaire, vecteur, bivecteur et pseudoscalaire décrivent tous les grades seulement dans certains petits espaces. À partir de la dimension 4, des trivecteurs et d'autres grades intermédiaires existent. Il faut énumérer les grades de 0 jusqu'à la dimension, le pseudoscalaire étant le dernier.

Non commutative ne signifie pas toujours. En dimension 1, l'algèbre est engendrée par une seule direction et reste commutative. Le test consiste à chercher deux vecteurs indépendants dont l'ordre du produit importe ; s'ils n'existent pas, il faut examiner le cas de basse dimension séparément.

Un vecteur non nul n'est pas toujours inversible. Si Q(v) = 0, alors v² = 0 et v n'a pas d'inverse. Une forme dégénérée possède de tels vecteurs, mais une forme non dégénérée de signature indéfinie peut aussi en avoir. Il faut vérifier Q(v) ≠ 0 avant d'employer l'inverse v/Q(v).

algèbre géométrique — Voir comment le produit de Clifford devient un langage de transformations géométriques.

quaternion — Étudier une algèbre réelle de dimension 4 reliée à une signature de Clifford.

Des nombres pas si complexes — Revenir à une petite algèbre commutative qui apparaît aussi comme cas de Clifford.