AlgèbreNotion · Glossaire
Octaves
Les octaves (ou octonions) sont une algèbre de division normée de dimension 8 sur les réels, après les réels (dimension 1), les complexes (dimension 2) et les quaternions (dimension 4). Le théorème de Hurwitz affirme qu’à isomorphisme près, ce sont les quatre seules algèbres réelles de division normées, unifères et de dimension finie. Les octonions ne sont ni commutatifs ni associatifs, mais satisfont la propriété d'alternative. Ils interviennent en physique théorique et en topologie différentielle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer les octonions parmi les algèbres de division normées réelles.
- Lire leur écriture à huit coordonnées réelles.
- Vérifier leur non-associativité sur un calcul entièrement parenthésé.
- Distinguer associativité, commutativité et alternativité.
En clair
Imaginez un nombre décrit par huit coordonnées réelles, comme un point qui aurait huit directions indépendantes. On peut additionner et multiplier de tels objets : ce sont les octonions. Chaque octonion non nul possède un inverse, ce qui autorise la division.
Leur multiplication demande toutefois deux précautions. L’ordre des facteurs compte, et les parenthèses aussi. Réunir d’abord les deux premiers facteurs peut donc donner un autre résultat que réunir d’abord les deux derniers. Une règle plus faible, l’alternativité, subsiste quand un même facteur est répété.
Définition
L’algèbre des octonions, notée O, est un espace vectoriel réel de dimension 8 muni d’une addition et d’une multiplication. Une base usuelle comprend l’unité 1 et sept unités imaginaires notées e1, e2, …, e7. Tout octonion x s’écrit à l’aide de huit nombres réels, nommés x0 à x7 :
C’est une algèbre de division normée sur les réels : chaque octonion non nul admet un inverse, et la norme du produit de deux octonions est le produit de leurs normes. Le théorème de Hurwitz affirme qu’à isomorphisme près, les seules algèbres réelles de division normées, unifères et de dimension finie sont les réels, les complexes, les quaternions et les octonions, de dimensions respectives 1, 2, 4 et 8.
La multiplication n’est en général ni commutative ni associative. Pour trois octonions a, b et c, on peut donc avoir ab ≠ ba et (ab)c ≠ a(bc). Elle est cependant alternative : lorsque deux facteurs adjacents sont égaux, les identités et sont satisfaites. Cette propriété ne permet pas de déplacer librement les parenthèses entre trois éléments quelconques.
Un exemple, pas à pas
Comparons deux parenthésages d’un même produit. Les données sont les unités imaginaires e1, e2 et e4, avec la convention e1e2 = e3, e3e4 = e7, e2e4 = e6 et e1e6 = −e7. Le schéma synthétise les deux chemins de calcul.
1. Dans le premier parenthésage, on multiplie d’abord e1 par e2 :
2. On multiplie ensuite le résultat par e4 :
3. Dans le second parenthésage, le produit intérieur vaut e2e4 = e6, puis :
4. Le contrôle est immédiat : e7 et −e7 sont distincts. Les deux écritures emploient les mêmes facteurs dans le même ordre ; seules les parenthèses changent. Ce calcul fournit donc un contre-exemple vérifiable à l’associativité.
En pratique
Dans un calcul octonionique, on conserve l’ordre des facteurs et toutes les parenthèses. Le signe ou le résultat peut changer si l’on permute deux unités imaginaires ou si l’on regroupe autrement trois facteurs.
Pour vérifier un long produit, on le réduit deux facteurs à la fois selon le parenthésage annoncé. Une table de multiplication ou une convention équivalente est préférable au calcul de mémoire, car elle rend chaque étape contrôlable.
Les octonions interviennent en physique théorique et en topologie différentielle. Lorsque le problème exige de déplacer librement les parenthèses, une structure associative est plus adaptée ; l’octonion est pertinent lorsque sa structure particulière est réellement utilisée.
À ne pas confondre
Quaternions. Ils forment l’algèbre de division normée réelle de dimension 4, alors que les octonions ont dimension 8. La multiplication des quaternions est associative ; un produit d’octonions peut dépendre des parenthèses.
Algèbre alternative. Il s’agit d’une famille d’algèbres définie par des identités de regroupement avec facteur répété. Les octonions en sont un exemple particulier ; les deux expressions ne sont donc pas synonymes.
Octave musicale. Le mot « octave » désigne aussi un intervalle en musique. Dans un contexte mathématique, les indices, les huit coordonnées réelles et la multiplication non associative signalent qu’il est question des octonions.
Limites et pièges
Parenthèses omises. Une écriture comme abc est ambiguë pour des octonions. Il faut écrire (ab)c ou a(bc), puis conserver ce choix durant tout le calcul.
Ordre inversé. La commutativité n’est pas disponible en général. Avant de remplacer ab par ba, il faut calculer les deux produits ou invoquer une relation qui vaut pour les éléments considérés.
Alternativité surestimée. Les identités alternatives couvrent les regroupements avec répétition d’un facteur. Elles ne justifient pas le déplacement des parenthèses pour trois octonions quelconques, comme le montre le produit de e1, e2 et e4.
Portée du théorème de Hurwitz. La liste des dimensions 1, 2, 4 et 8 concerne les algèbres de division normées sur les réels. Retirer l’une de ces hypothèses change la question et ne permet plus d’utiliser cette conclusion telle quelle.
Pour aller plus loin
Le théorème de Hurwitz précise pourquoi les dimensions 1, 2, 4 et 8 sont les seules possibles pour les algèbres de division normées réelles.
La fiche algèbre alternative isole les identités de parenthésage qui subsistent malgré la non-associativité des octonions.
La fiche quaternion présente l’étape de dimension 4, non commutative mais associative, qui précède les octonions dans la liste de Hurwitz.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres