ArithmétiqueThéorème · Glossaire
théorème de Hurwitz
Le théorème de Hurwitz garantit que, pour tout irrationnel x, il existe une infinité de rationnels p/q, avec q > 0, tels que |x − p/q| ≤ 1/(√5 · q²). Il quantifie ainsi la précision avec laquelle tout irrationnel peut être approché par des fractions lorsque le dénominateur grandit. La constante √5 est optimale : si λ > √5, certains irrationnels n'admettent qu'un nombre fini de solutions à |x − p/q| < 1/(λq²).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire la borne |x − p/q| ≤ 1/(√5 · q²) et identifier chaque variable.
- Vérifier la fraction 7/5 comme approximation de √2.
- Distinguer la garantie d’existence d’une méthode de construction.
- Interpréter correctement l’optimalité de la constante √5.
En clair
Plaçons √2 sur une droite graduée. Aucune fraction ne tombe exactement sur ce nombre irrationnel, mais certaines s’en approchent de très près : 7/5 = 1,4 en est une première illustration. En autorisant des dénominateurs plus grands, on peut resserrer encore l’écart.
Le théorème de Hurwitz garantit qu’il existe une infinité de telles approximations dont l’erreur décroît au moins comme l’inverse du carré du dénominateur, avec la constante précise √5. Cette promesse vaut pour chaque nombre irrationnel.
Définition
Le théorème de Hurwitz est un résultat d’approximation diophantienne. Il compare un nombre irrationnel, noté x, à des nombres rationnels écrits sous la forme p/q. Dans cette écriture, p est un entier et q est un entier strictement positif. L’erreur d’approximation est la distance absolue entre x et p/q.
Pour chaque x irrationnel, une infinité de fractions distinctes p/q satisfont la borne :
Le carré de q est décisif : lorsque le dénominateur augmente, l’erreur permise décroît en 1/q2.
La constante √5 est optimale au sens uniforme. Si on la remplace au dénominateur par un nombre λ strictement supérieur à √5, la nouvelle exigence est plus sévère. Il existe alors des irrationnels pour lesquels seul un nombre fini de fractions satisfont cette exigence. Les suites de Stern-Brocot, aussi appelées suites de Brocot dans ce contexte, interviennent dans la démonstration.
Le principe
Si x est un nombre irrationnel, alors il existe une infinité de fractions distinctes p/q, où p et q sont des entiers et q est strictement positif, telles que :
Autrement dit, l’erreur entre x et la fraction p/q ne dépasse pas 1/(√5 · q²). La conclusion porte sur une infinité de fractions bien choisies, pas sur toute fraction rationnelle proposée.
Quand l'utiliser
Le nombre x doit être irrationnel. Le numérateur p et le dénominateur q sont des entiers, et q doit être strictement positif. Pour décider si une fraction convient, on calcule l’erreur |x − p/q|, puis on la compare à la borne 1/(√5 · q²). Le théorème assure que ce test réussit pour une infinité de fractions distinctes.
Pour x = 3/2, l’hypothèse d’irrationalité échoue : x est déjà une fraction exacte. Le théorème n’est donc pas l’outil pertinent. On conserve simplement la représentation rationnelle 3/2 au lieu de chercher une suite infinie d’approximations garanties par Hurwitz.
Un exemple, pas à pas
Approchons le nombre irrationnel x = √2 par la fraction p/q = 7/5. Les données sont p = 7, q = 5 et √2 ≈ 1,41421356. La droite graduée matérialise la zone autorisée par la borne de Hurwitz pour ce dénominateur.
1. La fraction vaut exactement 7/5 = 1,4.
2. Son erreur, arrondie à huit décimales, est :
3. Pour q = 5, la borne vaut :
4. Puisque 0,01421356 < 0,01788854, la fraction 7/5 respecte la borne. On peut contrôler le verdict dans la représentation : 1,4 se trouve dans l’intervalle centré sur √2 et de rayon environ 0,01788854. Cet exemple vérifie une approximation ; le théorème garantit qu’il en existe une infinité.
En pratique
Pour tester une fraction candidate p/q, on calcule d’abord son erreur absolue, puis la borne 1/(√5 · q²). Si l’erreur est inférieure ou égale à la borne, la fraction atteint la qualité garantie par Hurwitz.
Pour obtenir effectivement de bonnes fractions, les fractions continues ou les suites de Stern-Brocot organisent la recherche rationnelle. Un balayage aveugle de tous les numérateurs devient vite encombrant lorsque q grandit ; une construction arithmétique structurée est alors préférable.
Pour lire le résultat, il faut distinguer garantie d’existence et recette de calcul. Hurwitz certifie une infinité d’approximations assez précises, tandis qu’une méthode de construction sert à les repérer concrètement.
À ne pas confondre
Une fraction continue est une représentation qui aide à produire des approximations rationnelles. Le théorème de Hurwitz est une garantie sur la qualité et le nombre de certaines approximations. Développer √2 en fraction continue relève de la construction ; vérifier |√2 − 7/5| ≤ 1/(25√5) relève de la borne.
Une suite de Stern-Brocot organise des fractions rationnelles et intervient dans la démonstration mentionnée par la source. Elle n’est pas l’énoncé de Hurwitz : la présence d’un parcours de fractions signale la construction, tandis que la constante √5 et l’inégalité en 1/q2 signalent le théorème.
Limites et pièges
Confondre existence et universalité. Le théorème garantit une infinité de bonnes fractions pour chaque irrationnel, mais il ne dit pas que toute fraction p/q satisfait la borne. Le bon réflexe consiste à tester chaque candidate avec son propre dénominateur.
Oublier le carré. La borne est proportionnelle à 1/q2, et non à 1/q. Pour q = 5, il faut comparer l’erreur à 1/(25√5), pas à 1/(5√5).
Mal lire l’optimalité. Remplacer √5 par λ > √5 au dénominateur diminue la borne et impose donc une approximation plus précise. On ne peut pas garantir cette exigence renforcée uniformément : certains irrationnels n’admettent alors qu’un nombre fini de solutions.
Prendre un arrondi pour une preuve. Des décimales trop courtes peuvent masquer le sens de l’inégalité. Il faut conserver assez de chiffres ou comparer les expressions exactes avant de conclure ; dans l’exemple, les valeurs arrondies restent nettement séparées.
Pour aller plus loin
La fiche Fraction continue présente une représentation qui permet de construire des approximations rationnelles particulièrement efficaces.
La fiche suite de Stern-Brocot approfondit l’organisation des fractions mobilisée dans la démonstration évoquée par la définition source.
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