théorème de Roth

Écrivons un nombre irrationnel avec une fraction. En augmentant le dénominateur, on peut souvent placer la fraction de plus en plus près du nombre visé. Mais une fraction exceptionnellement précise devient rare lorsqu’elle cherche à approcher un nombre à la fois irrationnel et algébrique.

Le théorème de Roth fixe cette barrière : dès que l’erreur exigée décroît un peu plus vite que l’inverse du carré du dénominateur, il n’existe qu’un nombre fini de fractions qui franchissent le test.

Le théorème de Roth, ou théorème de Thue-Siegel-Roth, est un résultat d’approximation diophantienne. Il porte sur un nombre α qui est algébrique, donc racine d’un polynôme non nul à coefficients entiers, et irrationnel, donc différent de toute fraction d’entiers.

Choisissons un réel ε strictement positif. Pour des entiers p et q avec q positif, la fraction p/q est une approximation de α et son erreur est la distance |α − p/q|. Le théorème affirme que l’inégalité suivante ne peut être satisfaite que par un nombre fini de rationnels p/q :Autrement dit, aucune famille infinie de rationnels distincts ne peut approcher un irrationnel algébrique avec un exposant durablement supérieur à 2.

Klaus Roth a établi ce résultat en 1955, au terme d’une chaîne de travaux associée à Liouville, Thue, Siegel, Dyson et Gelfond. Il a reçu la médaille Fields en 1958 pour cette démonstration.

Si α est un nombre algébrique irrationnel et si ε est un réel strictement positif, alors il n’existe qu’un nombre fini de rationnels p/q, avec q positif, tels que :L’exposant 2 + ε signifie que la précision demandée dépasse, même très légèrement, l’échelle en 1/q².

Trois vérifications sont nécessaires. Le nombre α doit être algébrique ; il doit aussi être irrationnel ; enfin, le surplus ε de l’exposant doit être strictement positif. Les approximations sont des rationnels p/q dont le dénominateur q est positif. La conclusion porte sur leur nombre : il est fini pour chaque choix fixé de α et de ε.

Pour α = 1/3, la condition d’irrationalité échoue : le théorème de Roth ne s’applique pas. Pour un nombre dont on ne sait pas s’il est algébrique, le même blocage apparaît ; il faut d’abord établir sa nature ou étudier directement ses approximations rationnelles.

Prenons le nombre α = √2, racine du polynôme x² − 2 et irrationnel. Fixons ε = 1/2 et testons la fraction p/q = 99/70. Les données sont donc p = 99, q = 70 et 2 + ε = 2,5.

1. La fraction vaut 99/70 ≈ 1,414285714.
2. Le nombre visé vaut √2 ≈ 1,414213562.
3. L’erreur est |√2 − 99/70| ≈ 0,000072152.
4. Le seuil imposé vaut 1/70^2,5 ≈ 0,000024392.

L’erreur est supérieure au seuil : 99/70 ne satisfait donc pas l’inégalité pour ε = 1/2. Le contrôle refaisable consiste à multiplier l’erreur par 70^2,5 : on obtient environ 2,958, valeur supérieure à 1. Ce test classe une fraction ; le théorème affirme, lui, que seules finitement de nombreuses fractions réussissent pour ce α et ce ε. La figure matérialise ces deux échelles de précision.

Pour évaluer une approximation p/q d’un irrationnel algébrique, on calcule son erreur puis on la compare à q^−(2+ε). Une erreur plus petite fait entrer la fraction parmi les exceptions possibles ; une erreur plus grande l’écarte immédiatement.

Pour étudier toute une famille de fractions, le théorème évite une recherche sans fin : il exclut une infinité d’approximations trop performantes. Si l’on veut seulement trouver de bonnes approximations sans exiger un exposant supérieur à 2, cette conclusion ne suffit pas et il faut employer une méthode de construction adaptée.

Irrationnel et irrationnel algébrique. Un irrationnel n’est aucune fraction d’entiers ; un irrationnel algébrique vérifie en plus une équation polynomiale à coefficients entiers. √2 appartient aux deux catégories. Pour appliquer directement le théorème à un irrationnel donné, il faut avoir établi son algébricité.

Qualité d’une approximation et finitude des approximations. Comparer une fraction au seuil décide seulement si elle satisfait l’inégalité. Le théorème de Roth est une affirmation globale : pour α et ε fixés, l’ensemble des rationnels qui la satisfont est fini.

Le seuil ε = 0 est exclu. Le théorème exige ε > 0. Remplacer 2 + ε par 2 retire précisément l’hypothèse qui produit la conclusion ; il faut alors utiliser un résultat adapté à l’échelle 1/q².

Fini ne signifie pas nul. Quelques fractions peuvent satisfaire l’inégalité. Le calcul avec 99/70 montre seulement que cette fraction échoue pour ε = 1/2 ; il ne permet ni de dresser la liste des exceptions ni de conclure qu’elle est vide.

Les paramètres doivent rester fixés. La finitude vaut pour un nombre α donné et un ε positif donné. Faire varier ε avec q change le problème et ne constitue pas une application directe du théorème.

Fraction continue — Pour voir comment une écriture structurée produit des approximations rationnelles successives d’un nombre réel.

Les fractions continues, — Pour prolonger l’étude des fractions qui approchent un irrationnel et du rôle de leur dénominateur.

médaille Fields — Pour situer la distinction reçue par Klaus Roth en 1958 pour sa démonstration.