Approchables (nombres bien)

Imaginez un nombre irrationnel placé sur une droite graduée. Une fraction peut tomber près de lui, mais son dénominateur mesure le prix payé pour cette précision : plus il est grand, plus la fraction est complexe.

Un nombre est particulièrement bien approché lorsque des fractions distinctes s'en rapprochent avec une erreur bien plus petite que ne le laisserait attendre leur dénominateur. Les nombres de Liouville poussent ce phénomène à l'extrême : quel que soit l'ordre de précision fixé, une infinité de fractions atteignent cet ordre.

Soit un nombre réel irrationnel noté x et un entier positif noté n. Le nombre x est approchable à l'ordre n s'il existe une infinité de fractions rationnelles distinctes p/q, avec un entier q positif, qui vérifient :

L'erreur doit donc décroître comme une puissance du dénominateur. L'exigence d'une infinité de fractions distingue une propriété durable d'une coïncidence isolée. Pour tout irrationnel, l'ordre 2 est atteint par l'approximation de Dirichlet. Dans cette fiche, « bien approchable » est employé comme synonyme éditorial de « très bien approchable » : cela signifie qu'un ordre strictement supérieur à 2 est atteint, tandis que « approchable à l'ordre n » désigne la propriété précise définie par l'inégalité. Le vocabulaire peut toutefois varier selon les textes. Un nombre de Liouville atteint tout ordre entier positif : son exposant d'approximation est infini, et un tel nombre est transcendant. Le théorème de Roth fixe la frontière algébrique : aucun irrationnel algébrique n'atteint un ordre strictement supérieur à 2.

Données. On considère la constante de Liouville L, dont les chiffres 1 sont placés aux rangs factoriels après la virgule. La troisième troncature est la fraction p/q = 110001/1 000 000, soit 0,110001. Son dénominateur est donc q = 10⁶. Le premier chiffre omis est au rang 4! = 24.

1. Le terme omis en premier vaut exactement 10⁻²⁴.
2. Tous les termes suivants sont positifs et leur somme est inférieure à 10⁻²³. L'erreur vérifie donc 10⁻²⁴ < L − p/q < 10⁻²³.
3. Comme 1/q³ = 1/(10⁶)³ = 10⁻¹⁸, cette erreur est strictement inférieure à 1/q³.
4. Cette troncature vérifie donc l'inégalité d'ordre 3.

Le contrôle se refait en comparant les exposants : −23 est inférieur à −18, donc 10⁻²³ est plus petit que 10⁻¹⁸. Plus généralement, pour chaque troncature au rang m! avec m ≥ 3, le dénominateur est q_m = 10^m! et l'erreur est strictement inférieure à 10^{−((m + 1)! − 1)}. Or (m + 1)! − 1 > 3m!, donc cette erreur est strictement inférieure à 1/q_m³. Ces troncatures forment une infinité de fractions distinctes : L satisfait donc le critère d'ordre 3. Le même raisonnement permet d'atteindre n'importe quel ordre fixé.

Pour étudier un nombre donné, on examine ses meilleures approximations rationnelles, souvent grâce à sa fraction continue. Une simple troncature décimale convient à une construction comme la constante de Liouville ; la fraction continue est préférable lorsqu'aucun motif décimal utile n'est connu.

Pour tester un ordre n, on calcule l'erreur de plusieurs fractions puis on la compare à 1/qⁿ. Des essais numériques suggèrent un comportement, mais une preuve doit établir l'existence d'une infinité de fractions, généralement en construisant une suite entière d'approximants.

Pour classer un irrationnel déjà connu comme algébrique, le théorème de Roth remplace cette recherche : il exclut tout ordre supérieur à 2. Pour montrer qu'un nombre est transcendant, une preuve qu'il est de Liouville fournit au contraire un critère suffisant.

Bonne approximation décimale et ordre d'approximation. Une décimale peut être très proche une seule fois. L'ordre exige une infinité de fractions distinctes satisfaisant la même puissance de q ; un unique arrondi ne tranche donc rien.

Nombre de Liouville et nombre transcendant. Tout nombre de Liouville est transcendant, mais la réciproque est fausse. Le critère qui tranche est l'atteinte de tout ordre : la transcendance seule ne l'impose pas.

Nombre rationnel et nombre bien approchable. Réécrire une même fraction avec des dénominateurs multiples ne fournit pas des approximations distinctes. L'erreur nulle est exclue dans le critère destiné aux irrationnels.

Le seuil 2. L'ordre 2 n'est pas exceptionnel : tout irrationnel possède une infinité d'approximations répondant à ce seuil. Pour signaler une approximation au-delà du comportement général, il faut un ordre strictement supérieur à 2.

Une liste finie ne suffit pas. Même des erreurs spectaculaires pour dix ou mille fractions ne prouvent pas la propriété. Il faut donner un procédé produisant une infinité de fractions distinctes et démontrer l'inégalité pour toute une suite.

La constante dans la borne compte. Certains textes autorisent une borne C/qⁿ avec une constante positive C, tandis que la définition retenue ici utilise 1/qⁿ. Avant de comparer deux énoncés, il faut vérifier leur convention exacte.

La limite algébrique. Le théorème de Roth concerne les irrationnels algébriques et interdit chez eux tout ordre supérieur à 2. Il ne dit pas que tout nombre transcendant est de Liouville, ni que tout transcendant atteint un ordre supérieur à 2.

Nombres de Liouville — Leur construction montre comment obtenir des approximations rationnelles d'ordre arbitrairement élevé.

théorème de Roth — Il précise pourquoi les irrationnels algébriques restent à la frontière de l'ordre 2.

Fraction continue — Elle organise les meilleures approximations rationnelles d'un irrationnel.

nombre transcendant — Cette notion situe la conclusion obtenue lorsqu'un nombre est reconnu comme nombre de Liouville.