Liouville Joseph

Imaginez un mathématicien qui suit plusieurs pistes à la fois : les nombres, les fonctions, les formes et les phénomènes physiques. Joseph Liouville a aussi créé, en 1836, un journal pour faire circuler les découvertes mathématiques.

Son nom reste surtout attaché à une idée étonnante : certains nombres peuvent être approchés par des fractions avec une précision exceptionnelle. Ces nombres de Liouville sont transcendants, c'est-à-dire qu'ils ne sont solution d'aucune équation P(x)=0 avec P polynôme non nul à coefficients entiers. Liouville a également rendu publics les travaux d'Évariste Galois et développé, avec Sturm, une théorie utilisée pour étudier certains opérateurs différentiels.

Joseph Liouville est un mathématicien français dont les travaux couvrent la théorie des nombres, l'analyse réelle et complexe, la géométrie différentielle et la physique mathématique. Sa contribution à la théorie des nombres porte notamment sur l'approximation des nombres irrationnels algébriques par des rationnels.

Dans ce contexte, un nombre irrationnel algébrique est un nombre qui n'est pas rationnel mais qui vérifie une équation P(x)=0 avec P polynôme non nul à coefficients entiers. Un nombre transcendant ne vérifie aucune équation P(x)=0 avec P polynôme non nul à coefficients entiers. Liouville met en évidence une classe de nombres transcendants construits explicitement, les nombres de Liouville, en exploitant une approximabilité par des rationnels trop bonne pour un irrationnel algébrique.

Le nom de Liouville désigne aussi plusieurs résultats. Le théorème de Liouville sur les fonctions holomorphes bornées affirme que toute fonction entière et bornée est constante ; il permet notamment de déduire le théorème de d'Alembert-Gauss. Un autre théorème concerne l'approximation des irrationnels algébriques. Enfin, la théorie de Sturm-Liouville, développée avec Charles-François Sturm, étudie la théorie spectrale d'opérateurs différentiels du second ordre.

Prenons le fil historique des nombres de Liouville avec la constante classique L = 0,110001000000000000000001… = \sum_{n=1}^{\infty}10^{-n!}. Le point de comparaison est une fraction rationnelle p/q, avec q entier strictement positif.

1. On construit les approximants L_k=\sum_{n=1}^{k}10^{-n!}=p_k/q_k. Leur dénominateur est q_k=10^{k!} : ainsi L_1=1/10, L_2=11/100 et L_3=110001/1000000.

2. On compare L à ces fractions : l'erreur du troisième approximant est déjà |L-110001/1000000|, et, en général, |L-L_k| est inférieure à 2\,10^{-(k+1)!}=2/q_k^{k+1}. Les p_k/q_k sont donc des approximations rationnelles de plus en plus précises.

3. Le théorème de Liouville sur l'approximation dit que, pour un irrationnel algébrique \alpha de degré d, il existe une constante c_\alpha positive telle que |\alpha-p/q| est supérieure à c_\alpha/q^d pour toute fraction p/q. À degré d fixé, une précision qui décroît comme 1/q^{d+1} finit donc par dépasser cette limite.

4. Pour L, l'erreur |L-L_k| est inférieure à 2/q_k^{k+1} et devient, pour tout degré d fixé et k assez grand, plus petite que c_\alpha/q_k^d, quelle que soit la constante c_\alpha positive. Les approximations construites dépassent donc la précision autorisée à un irrationnel algébrique ; L ne peut pas être algébrique irrationnel. Il faut aussi écarter le cas rationnel : le développement décimal de L n'est pas éventuellement périodique, car les suites de zéros entre deux 1 aux positions n! ont des longueurs non bornées, alors que tout rationnel a un développement décimal éventuellement périodique. L est donc irrationnel et non algébrique, donc transcendant : la construction de Liouville fournit des nombres transcendants explicites.

Le contrôle consiste à distinguer trois catégories : rationnel, irrationnel algébrique et transcendant. Ici, la valeur L et les fractions p_k/q_k rendent le mécanisme vérifiable : une suite d'approximations trop précises pour tout degré algébrique conduit à la transcendance.

Pour situer Joseph Liouville dans l'histoire des mathématiques, on peut suivre ses institutions et ses publications. Il enseigne à l'École centrale, à l'École polytechnique puis au Collège de France, et il est élu à l'Académie des sciences en 1839.

Pour retrouver la trace de travaux mathématiques, le Journal des mathématiques pures et appliquées constitue un repère essentiel. Liouville le fonde en 1836 et le dirige pendant plusieurs décennies ; la publication devient rapidement une référence internationale.

Pour lire un résultat attribué à Liouville, il faut d'abord identifier le domaine. Une fonction entière et bornée renvoie au théorème d'analyse complexe, tandis qu'une approximation par des rationnels renvoie à la théorie des nombres. Les opérateurs différentiels du second ordre renvoient à Sturm-Liouville.

Un nombre de Liouville ne doit pas être confondu avec un nombre irrationnel algébrique. Le critère est l'existence d'une équation P(x)=0 avec P polynôme non nul à coefficients entiers : l'irrationnel algébrique en vérifie une, tandis que le nombre transcendant n'en vérifie aucune de cette forme.

Le théorème de Liouville sur les fonctions holomorphes bornées ne doit pas être confondu avec le théorème de Liouville sur l'approximation des irrationnels algébriques. Le premier porte sur les fonctions entières et bornées ; le second porte sur les approximations rationnelles.

Enfin, Sturm-Liouville n'est pas un autre nom pour les nombres de Liouville. Il s'agit d'une théorie spectrale d'opérateurs différentiels du second ordre, développée avec Charles-François Sturm.

Le mot « Liouville » est ambigu sans son domaine. Une phrase qui mentionne seulement le théorème de Liouville ne permet pas de savoir si elle parle d'analyse complexe ou d'approximation des nombres. Il faut donc préciser l'objet : fonction entière et bornée, ou irrationnel algébrique approché par des rationnels.

Une approximation très précise ne suffit pas, à elle seule, à conclure qu'un nombre est transcendant. Le raisonnement de Liouville compare cette précision à la limite valable pour les irrationnels algébriques. Sans cette hypothèse et ce seuil, le diagnostic est incomplet.

Le théorème d'analyse cité dans la source concerne une fonction entière et bornée. Le supprimerait-on l'hypothèse « bornée », la conclusion « constante » ne serait plus valable pour toutes les fonctions entières. La condition appartient donc à l'énoncé, et non à un simple contexte.

L'article « En route vers la transcendance » prolonge le fil des nombres transcendants. Il permet de replacer la construction explicite associée à Liouville dans l'histoire plus large de la distinction entre nombres algébriques et transcendants.