Sturm Charles François

En 1829, à Paris, Charles-François Sturm énonce un théorème qui transforme une question difficile en comptage : combien un polynôme possède-t-il de racines réelles dans un intervalle ? On construit une courte chaîne de polynômes, puis on observe leurs signes aux deux extrémités. La diminution du nombre de changements de signe donne le nombre cherché, sans devoir calculer les racines une à une.

Son nom reste aussi attaché aux travaux menés avec Joseph Liouville sur des équations différentielles, dans le prolongement de la théorie de la chaleur de Fourier.

Charles-François Sturm (1803-1855) est un mathématicien français né à Genève. Son parcours le conduit à Paris comme précepteur du fils de Mme de Staël. Il y fréquente notamment Laplace, Poisson et Fourier. La fiche porte donc sur une personne et sur les deux ensembles de travaux auxquels son nom demeure attaché, plutôt que sur une notion algébrique unique.

Le théorème de Sturm, énoncé en 1829, compte les racines réelles distinctes d'un polynôme dans un intervalle dont les extrémités ne sont pas des racines. Pour la procédure élémentaire, le polynôme doit être sans facteur carré ; sinon, on le réduit d'abord par son facteur commun avec sa dérivée. La suite commence par le polynôme P, puis sa dérivée P′. Chaque terme suivant est l'opposé du reste de la division euclidienne des deux termes précédents. Aux deux extrémités, on relève les signes des valeurs non nulles. Si V(a) et V(b) désignent les nombres de changements de signe aux bornes a et b, avec a inférieur à b, alors le nombre de racines est donné par $V(a)-V(b)V(a)-V(b)$.

Avec Joseph Liouville, Sturm étudie ensuite certaines équations différentielles liées notamment à la chaleur. La théorie de Sturm-Liouville issue de ces travaux est toujours fondamentale en analyse mathématique. Elle constitue un prolongement distinct du procédé algébrique de comptage des racines.

On veut compter les racines réelles du polynôme P défini par $P(x)=x^3-xP(x)=x^3-x$ dans l'intervalle ouvert allant de −2 à 1/2. Les données sont donc P, la borne gauche a = −2 et la borne droite b = 1/2. Aucune des deux bornes n'annule P.

1. La dérivée fournit le deuxième terme. Les divisions euclidiennes successives donnent ensuite les opposés des restes :

2. À la borne −2, les quatre valeurs ont pour signes −, +, −, +. La lecture de gauche à droite donne trois changements de signe, donc V(−2) = 3.

3. À la borne 1/2, les signes sont −, −, +, +. Il n'y a qu'un changement, donc V(1/2) = 1.

4. La différence vaut $V(-2)-V(1\mathrm{/}2)=3-1=2V(-2)-V(1/2)=3-1=2$. Le polynôme possède donc exactement deux racines réelles dans cet intervalle. Le contrôle direct est possible ici : $P(x)=x(x-1)(x+1)P(x)=x(x-1)(x+1)$, et les racines −1 et 0 sont dans l'intervalle, tandis que 1 est à l'extérieur.

Pour localiser les zéros réels d'un polynôme, la suite de Sturm est utile lorsque leur nombre dans un intervalle importe davantage que leur valeur explicite. Si une factorisation évidente existe, elle reste plus directe ; sinon, le changement de variations fournit un décompte exact.

Pour isoler les racines, on découpe un grand intervalle en sous-intervalles et on recommence le comptage. Lorsque les extrémités choisies ne sont pas des racines du polynôme, un sous-intervalle où la différence des variations vaut 1 contient une seule racine distincte. Si la différence vaut 0, ce sous-intervalle peut être écarté.

Pour des équations différentielles issues notamment de problèmes de chaleur, le cadre pertinent n'est plus la suite polynomiale mais la théorie de Sturm-Liouville. Le type d'objet observé — polynôme ou équation différentielle — indique lequel des deux héritages de Sturm employer.

Le théorème de Sturm est le résultat qui relie une différence de variations au nombre de racines. La suite de Sturm est l'outil construit par divisions euclidiennes pour appliquer ce résultat. Dans l'exemple, l'affirmation « il y a deux racines » relève du théorème ; les quatre polynômes P₀ à P₃ forment la suite.

Le théorème de Sturm sur les racines d'un polynôme ne se confond pas avec la théorie de Sturm-Liouville. Le premier part d'un polynôme et compte ses zéros réels ; la seconde étudie certaines équations différentielles. La présence d'une dérivée dans les deux cadres ne suffit pas à les identifier.

Une borne qui est elle-même une racine exige une convention adaptée ou un léger déplacement de la borne. Le critère présenté compte directement sur un intervalle dont les extrémités n'annulent pas le polynôme ; substituer zéro à une extrémité sans précaution rend le décompte ambigu.

Lorsqu'une valeur de la suite s'annule au point où l'on compte les variations, ce zéro est omis et l'on compare les signes non nuls voisins. Le traiter comme un signe positif ou négatif ajouterait artificiellement une variation.

Pour un polynôme ayant des racines multiples, on commence par retirer le facteur commun au polynôme et à sa dérivée si l'on veut compter les racines distinctes avec la procédure élémentaire. Sans cette réduction à la partie sans facteur carré, la suite peut se terminer par zéro et la multiplicité demande un traitement séparé.

Le décompte concerne les racines réelles de l'intervalle. Il ne renseigne pas sur les racines complexes non réelles. Dans l'exemple, le résultat 2 décrit seulement l'intervalle ouvert allant de −2 à 1/2 ; il ne faut pas en déduire que le polynôme n'a que deux racines réelles au total.

Le glossaire théorème de Sturm approfondit le résultat algébrique qui compte les racines réelles dans un intervalle à partir des variations de signes.

La fiche Liouville Joseph présente l'autre mathématicien dont le nom est associé à la théorie de Sturm-Liouville.