méthode des cascades

Imaginez la courbe d’un polynôme qui coupe l’axe horizontal plusieurs fois. Entre deux passages consécutifs, elle doit tourner ou au moins devenir horizontale. La cascade repère les points critiques qui peuvent servir de séparateurs, sans que chacun corresponde nécessairement à deux passages par l’axe : c’est le polynôme obtenu en dérivant le précédent.

En recommençant avec chaque nouvelle dérivée, on descend vers des polynômes de degré plus faible, donc plus faciles à étudier. Les zéros déjà trouvés découpent alors la droite en intervalles où chercher les racines du polynôme précédent.

La méthode des cascades s’applique à un polynôme réel. Si ce polynôme non constant, noté P, est de degré n ≥ 1 et a pour coefficients a₀, a₁, …, a_n, avec a_n ≠ 0, sa première cascade est le polynôme obtenu en multipliant le coefficient de chaque terme par l’exposant de ce terme, tandis que le terme constant disparaît. En écriture moderne, cette cascade est exactement la dérivée P′ : $P(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0,P^{\mathrm{\prime }}(x)=n{a}_n{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}P(x)=a\_nx^n+\backslash cdots+a\_1x+a\_0,\backslash qquad\; P\text{'}(x)=na\_nx^\{n-1\}+\backslash cdots+a\_1$.

On forme ensuite P″, puis les dérivées successives jusqu’à atteindre un polynôme constant. Les racines réelles d’une cascade servent de séparateurs : entre deux racines réelles distinctes et consécutives de P se trouve au moins une racine de P′. En remontant la chaîne, les signes de P aux séparateurs et la variation de P sur les intervalles permettent de localiser ses racines. Michel Rolle exposa cette technique en 1691 ; MacLaurin obtint le même résultat en 1729 par une démonstration algébrique. L’identification de la cascade à la dérivée et la formulation générale comme théorème de Rolle sont postérieures.

Pour un polynôme réel P de degré au moins 2, on procède du degré le plus faible vers le degré initial.

Les cas de degré inférieur se traitent directement : un polynôme constant non nul n’a aucune racine, le polynôme nul s’annule partout, et un polynôme ax + b avec a ≠ 0 a pour unique racine −b/a.
1. On construit les cascades successives P′, P″, … jusqu’au polynôme constant.
2. On résout la cascade non constante de plus faible degré, puis on remonte d’une cascade.
3. Les racines trouvées découpent la droite en intervalles ; on y étudie le signe et la variation du polynôme précédent.
4. On recommence jusqu’à P et on s’arrête lorsque tous les intervalles compatibles avec une racine réelle ont été examinés.

La garantie utilisée à chaque remontée est la suivante : si P possède deux racines réelles distinctes, alors P′ s’annule au moins une fois entre elles.

La donnée de départ est un polynôme à coefficients réels dont on cherche les racines réelles. Il faut pouvoir calculer ses dérivées successives et déterminer les racines des cascades de degré inférieur. Entre deux racines distinctes du polynôme étudié, sa dérivée possède au moins une racine ; les séparateurs ainsi obtenus permettent ensuite d’examiner les intervalles un à un.

Une racine de la dérivée ne garantit cependant pas une racine du polynôme de chaque côté. Par exemple, le polynôme x² + 1 a pour dérivée 2x, qui s’annule en 0, mais il n’a aucune racine réelle. Il faut donc compléter les cascades par un contrôle de signe ou de variation.

On étudie le polynôme P défini par $P(x)=x^3-3xP(x)=x^3-3x$. Les données sont son degré 3 et ses coefficients 1, 0, −3 et 0.

1. La première cascade est $P^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3P\text{'}(x)=3x^2-3$. Elle s’annule en −1 et en 1.
2. La deuxième cascade est $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6xP\text{'}\text{'}(x)=6x$. Elle s’annule en 0, entre −1 et 1.
3. Aux séparateurs, P(−1) = 2 et P(1) = −2. De plus, P(−2) = −2 et P(2) = 2.
4. Les changements de signe placent donc une racine dans chacun des intervalles [−2 ; −1], [−1 ; 1] et [1 ; 2].

Le contrôle exact vient de la factorisation $P(x)=x(x^2-3)P(x)=x(x^2-3)$ : les trois racines sont −√3, 0 et √3. Leur ordre, $-\sqrt{3}<-1<0<1<\sqrt{3}-\backslash sqrt\{3\}\backslash lt-1\backslash lt0\backslash lt1\backslash lt\backslash sqrt\{3\}$, confirme que les racines −1 et 1 de la première cascade séparent bien celles de P. La figure matérialise ces séparateurs sur la courbe.

Pour localiser les racines réelles d’un polynôme, on commence par la cascade de plus faible degré, puis on remonte. À chaque niveau, ses racines fournissent des bornes naturelles pour examiner le signe du polynôme précédent.

Quand une factorisation apparaît immédiatement, elle donne plus vite les racines exactes. Les cascades restent utiles pour contrôler leur nombre et leur ordre, comme avec x³ − 3x.

Quand aucune factorisation simple n’est visible, les changements de signe entre deux séparateurs donnent des intervalles de recherche. On peut ensuite resserrer ces intervalles par de nouvelles évaluations du polynôme.

Méthode des cascades et théorème de Rolle. Le théorème fournit la garantie d’existence d’un zéro de la dérivée entre deux zéros distincts. La méthode des cascades transforme cette garantie en procédure, en itérant les dérivées et en remontant les intervalles.

Racine du polynôme et racine de sa cascade. Une racine de P annule P ; une racine de P′ signale un point où la variation peut changer. Dans l’exemple P(x) = x³ − 3x, −1 annule P′ mais P(−1) = 2 : ce n’est pas une racine de P.

Le sens réciproque est faux. Le zéro 0 de la dérivée de x² + 1 ne sépare aucune racine réelle, puisque le polynôme reste positif. Il faut vérifier le signe du polynôme, pas seulement compter les zéros de sa cascade.

Une racine multiple peut être partagée. Pour P(x) = x², P et P′ s’annulent tous deux en 0. La racine de la cascade ne se trouve alors pas strictement entre deux racines distinctes ; il faut traiter cette coïncidence comme un cas particulier.

La localisation peut rester grossière. Un changement de signe dans [−2 ; −1] prouve la présence d’une racine de x³ − 3x, mais ne donne pas immédiatement sa valeur −√3. Pour une valeur plus précise, il faut resserrer l’intervalle ou résoudre autrement.

La descente finit au degré 0. La dérivée d’un polynôme de degré 1 est constante et n’apporte aucun séparateur supplémentaire. On remonte alors à partir de cette dernière cascade non constante.

Résoudre des équations : le théorème de Rolle à la rescousse montre comment le résultat de séparation intervient dans la résolution d’équations.

La fiche Rolle Michel replace l’auteur de la méthode dans son contexte historique.

La notion de racine double approfondit le cas où un polynôme et sa dérivée s’annulent au même point.