polynôme de Laguerre

Sur la demi-droite des nombres positifs, le facteur e^−x donne beaucoup de poids aux valeurs proches de 0 et de moins en moins aux valeurs éloignées. Les polynômes de Laguerre sont construits pour que, deux à deux, leurs zones positives et négatives se compensent exactement lorsqu’on les compare avec ce poids.

Les trois premiers sont L₀(x) = 1, L₁(x) = 1 − x et L₂(x) = 1 − 2x + x²/2. À chaque rang, un nouveau polynôme apparaît, de degré égal à ce rang. Cette famille fournit ainsi des briques adaptées aux calculs où une exponentielle décroissante intervient sur [0, +∞).

Pour chaque entier naturel n et pour la variable réelle x, le polynôme de Laguerre ordinaire de degré n, noté L_n, est fixé par la normalisation de Rodrigues :Considéré comme fonction inconnue y de x, il vérifie l’équation différentielle $x{y}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(1-x)y^{\mathrm{\prime }}+ny=0xy\text{'}\text{'}+(1-x)y\text{'}+ny=0$. Sans cette normalisation, tout multiple constant de L_n est également une solution polynomiale de la même équation.

La famille est orthonormale pour le poids e^−x sur [0, +∞) : si m et n sont deux entiers naturels, alorsDans cette convention, L_n(0) = 1 et le coefficient de xⁿ vaut (−1)ⁿ/n!.

Les polynômes successifs peuvent aussi être engendrés par la relation de récurrencevalable pour n ≥ 1, avec L₀(x) = 1 et L₁(x) = 1 − x.

La famille réunit quatre ingrédients. Le rang n est un entier naturel et donne le degré. La variable x parcourt la demi-droite [0, +∞). Le poids e^−x intervient dans le produit scalaire qui rend les polynômes orthogonaux. Enfin, la normalisation de Rodrigues choisit une solution précise parmi tous ses multiples constants.

Le tracé annoncé compare L₀, L₁ et L₂ entre x = 0 et x = 5. Les trois courbes partent de la valeur 1, mais leurs degrés et leurs zéros les distinguent : L₀ reste constant, L₁ s’annule en 1, et L₂ s’annule en 2 − √2 puis en 2 + √2. Les courbes ne montrent pas à elles seules l’orthogonalité, qui porte sur une intégrale pondérée et non sur des intersections.

Construisons le polynôme de rang 2 et contrôlons directement qu’il satisfait l’équation de Laguerre. Les données sont le rang n = 2, la fonction e^−xx² à dériver deux fois et la normalisation e^x/2.

1. La formule de Rodrigues demande de dériver deux fois e^−xx². La première dérivée vaut e^−x(2x − x²) et la seconde e^−x(x² − 4x + 2). Après multiplication par e^x/2, on obtient

2. Ses deux premières dérivées sont L′₂(x) = x − 2 et L″₂(x) = 1. Pour n = 2, le membre gauche de l’équation devientLe polynôme obtenu est donc bien une solution.

3. On peut aussi contrôler son orthogonalité avec L₀ = 1. Comme l’intégrale de e^−xx^k sur [0, +∞) vaut k! pour tout entier naturel k, on trouveCette annulation est exactement celle attendue entre deux rangs différents.

Pour approcher une intégrale de la forme ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x}f(x)dx\backslash int\_0^\{+\backslash infty\}e^\{-x\}f(x)\backslash ,dx$, la quadrature de Gauss-Laguerre évalue la fonction f aux zéros d’un polynôme L_n et combine ces valeurs avec des coefficients positifs. Elle évite de tronquer arbitrairement la demi-droite et intègre exactement les polynômes jusqu’au degré 2n − 1.

En analyse, une fonction adaptée au poids e^−x peut être développée en série de polynômes de Laguerre, comme une fonction périodique l’est en série de Fourier. Les coefficients se calculent par des intégrales pondérées ; l’orthogonalité sépare alors les contributions des différents rangs.

Avant un calcul, il faut donc repérer le poids et l’intervalle. Si l’intégrale contient e^−ax avec a > 0, le changement de variable u = ax la ramène au poids standard e^−u. Un autre poids peut conduire à une autre famille orthogonale ou aux polynômes de Laguerre généralisés.

Les polynômes de Laguerre généralisés, notés L^(α)_n, dépendent d’un paramètre réel α et sont orthogonaux pour le poids x^αe^−x, avec α > −1. Les polynômes ordinaires de cette fiche correspondent au cas α = 0.

Les polynômes de Legendre sont orthogonaux sur [−1, 1] avec le poids constant 1, tandis que les polynômes d’Hermite sont associés à toute la droite réelle et à un poids gaussien. La ressemblance tient à leur appartenance commune aux polynômes orthogonaux, mais l’intervalle, le poids et l’équation différentielle changent.

Le nom Laguerre désigne aussi le mathématicien Edmond Nicolas Laguerre. Une recherche biographique porte sur sa vie et ses travaux ; une recherche sur L_n, la formule de Rodrigues ou l’équation différentielle porte sur la famille de polynômes.

La normalisation et le rang comptent. L’équation différentielle est homogène : si L_n est solution, tout multiple constant l’est aussi. La formule de Rodrigues sélectionne la convention où L_n(0) = 1. De plus, la solution est un polynôme de Laguerre ordinaire lorsque n est entier naturel ; pour une valeur générale du paramètre, les solutions ne sont en général pas polynomiales.

L’orthogonalité inclut son poids. Retirer e^−x de l’intégrale, changer l’intervalle ou remplacer le poids sans adapter la famille détruit en général l’annulation entre rangs distincts. Le poids assure aussi la convergence malgré la croissance polynomiale lorsque x tend vers +∞.

Le point x = 0 est singulier dans l’équation. Le coefficient de la dérivée seconde y vaut x et s’annule à l’origine. Les polynômes L_n y restent parfaitement définis, mais les théorèmes généraux d’existence pour une équation mise sous la forme y″ = … ne s’appliquent pas directement en ce point.

Les formules explicites peuvent être numériquement fragiles. Pour un rang élevé ou une grande valeur de x, des termes très grands et de signes opposés peuvent presque s’annuler. Une récurrence stable ou une bibliothèque spécialisée est alors préférable à l’évaluation terme à terme de la somme développée.

La fiche polynômes orthogonaux replace la famille de Laguerre parmi les systèmes construits à partir d’un intervalle et d’un poids.

La fiche formule de Rodrigues présente le procédé de dérivation qui engendre plusieurs familles classiques de polynômes.

La fiche Laguerre Edmond Nicolas situe cette construction dans l’œuvre du mathématicien français auquel elle doit son nom.