AlgèbreFormule · Glossaire
formule de Rodrigues
Formule donnant une expression explicite des polynômes de Legendre Pₙ(x) à l'aide de dérivées successives. Pour chaque entier n ≥ 0, Pₙ est la solution polynomiale normalisée par Pₙ(1) = 1 de l'équation différentielle : (1 − x²) d²y/dx² − 2x dy/dx + n(n+1)y = 0. La formule de Rodrigues établit que ces polynômes s'écrivent : Pₙ(x) = 1/(2ⁿ n!) · dⁿ/dxⁿ [(x² − 1)ⁿ]. Cette représentation permet de calculer directement tout polynôme de Legendre d'ordre n sans passer par la résolution explicite de l'équation différentielle associée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier chaque terme de la formule de Rodrigues.
- Calculer P₂ par deux dérivations successives.
- Distinguer la formule de l’équation différentielle et d’une récurrence.
- Repérer les conventions de signe et de normalisation.
En clair
Prenons le carré de x² − 1, puis dérivons-le deux fois. Après une division par 8, le résultat est le polynôme de Legendre d’ordre 2. La formule de Rodrigues transforme ainsi une expression facile à former en un polynôme précis, sans résoudre l’équation différentielle dont il est solution.
Le même geste fonctionne à tout ordre entier positif ou nul : on élève, on dérive autant de fois que l’ordre choisi, puis on normalise.
Définition
La formule de Rodrigues est une expression explicite des polynômes de Legendre. Pour un entier n positif ou nul, le polynôme de degré n, noté Pn, s’obtient en dérivant n fois la puissance n-ième de x² − 1, puis en divisant par 2nn!. La variable réelle ou complexe est notée x, et n! désigne le produit des entiers de 1 à n, avec 0! = 1.
La définition complète s’écrit . Elle fixe la normalisation Pn(1) = 1. Ces polynômes satisfont l’équation différentielle de Legendre, où y désigne la fonction inconnue : .
La formule construit directement une solution polynomiale particulière de cette équation. Elle évite donc de résoudre l’équation différentielle pour chaque valeur de n.
Le principe
Soit n un entier positif ou nul et x la variable. Le polynôme de Legendre d’ordre n est donné par :
On forme donc (x² − 1)n, on effectue exactement n dérivations par rapport à x, puis on applique le facteur 1/(2nn!). Le résultat est un polynôme de degré n normalisé par Pn(1) = 1.
Quand l'utiliser
La formule s’applique lorsque l’ordre n est un entier positif ou nul. L’expression (x² − 1)n est alors un polynôme, sa dérivée n-ième existe partout, et le facteur 2nn! n’est jamais nul. On obtient le polynôme de Legendre Pn associé à cet ordre.
Si l’on choisit par exemple n = 1/2, la dérivation « une demi-fois » n’appartient pas au calcul différentiel ordinaire utilisé ici : cette formule ne définit donc pas ainsi un polynôme de Legendre. Il faut employer une théorie étendue des fonctions de Legendre et en préciser les conventions.
Un exemple, pas à pas
Calculons le polynôme de Legendre d’ordre 2. Les données sont n = 2, 2nn! = 2² × 2 = 8 et la variable x.
1. On développe la puissance : .
2. Une première dérivation donne .
3. Une seconde dérivation donne .
4. La division par 8 conduit à .
2. Une première dérivation donne .
3. Une seconde dérivation donne .
4. La division par 8 conduit à .
Le contrôle de normalisation est immédiat : P2(1) = (3 − 1)/2 = 1. Un second contrôle consiste à remplacer y par P2 dans l’équation de Legendre avec n = 2 ; le membre de gauche se réduit exactement à zéro. La courbe associée rend visibles la valeur −1/2 en x = 0 et les deux zéros en x = ±1/√3.
En pratique
Pour obtenir un polynôme de Legendre d’ordre fixé, la formule donne un calcul fini fondé sur un développement et des dérivations. Elle est préférable à la résolution directe de l’équation différentielle lorsque l’on veut une expression explicite pour un petit ordre.
Pour plusieurs ordres successifs, une relation de récurrence peut demander moins de développements algébriques. Le critère est concret : si Pn−1 et Pn sont déjà connus, la récurrence évite de repartir de (x² − 1)n+1.
Pour vérifier un résultat symbolique, on contrôle son degré, la valeur Pn(1) = 1 et sa substitution dans l’équation différentielle de Legendre.
À ne pas confondre
La formule de Rodrigues n’est pas l’équation différentielle de Legendre. La première construit Pn par dérivations successives ; la seconde caractérise des fonctions y par une relation entre y, y′ et y″. Pour n = 2, former la dérivée seconde de (x² − 1)² relève de Rodrigues, tandis que substituer (3x² − 1)/2 dans l’équation sert à vérifier la solution.
Elle ne se confond pas non plus avec une relation de récurrence entre trois polynômes de Legendre consécutifs. Rodrigues part de (x² − 1)n pour un ordre donné ; une récurrence part de polynômes déjà connus pour produire l’ordre suivant.
Limites et pièges
Au cas charnière n = 0, aucune dérivation n’est effectuée : avec 0! = 1, la formule donne P0(x) = 1. Oublier cette convention fait disparaître à tort le premier polynôme de la famille.
Le signe dépend de l’expression placée sous la dérivée. Remplacer (x² − 1)n par (1 − x²)n sans ajouter le facteur (−1)n change le signe lorsque n est impair. Il faut vérifier ensemble la puissance choisie et le préfacteur.
La formule donne la normalisation Pn(1) = 1, mais une équation différentielle linéaire homogène accepte aussi tout multiple constant d’une solution. Il ne faut donc pas déduire la normalisation de l’équation seule.
À grand ordre, développer (x² − 1)n puis dériver peut devenir lourd et numériquement peu commode. Pour une suite de valeurs ou une évaluation numérique, on privilégie une récurrence adaptée et on contrôle sa stabilité.
Pour aller plus loin
La notion de fonction polynôme aide à lire le résultat de Rodrigues : après les n dérivations, l’expression obtenue reste polynomiale et son degré est exactement n.
Un prolongement naturel consiste à étudier l’orthogonalité des polynômes de Legendre sur l’intervalle [−1, 1], puis leurs relations de récurrence. Ces propriétés expliquent leur emploi dans les développements de fonctions, tandis que Rodrigues en fournit la construction explicite.
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